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Gaussiana

Una variabile aleatoria gaussiana x Ŕ descritta da una densitÓ di probabilitÓ di espressione

pX(x) = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma _{x}}}$exp$\displaystyle \left\{\vphantom{ -\frac{\left( x-m_{x}\right) ^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}\right.$ - $\displaystyle {\frac{\left( x-m_{x}\right) ^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ -\frac{\left( x-m_{x}\right) ^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}\right\}$

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\resizebox* {0.3\columnwidth}{!}{\includegraphics{cap5/f5.12.ps}}

il cui andamento Ŕ mostrato in figura, dove Ŕ posto in evidenza come mx e $ \sigma_{x}^{}$ (media e deviazione standard) siano in relazione la prima con la centratura orizzontale, e la seconda con la dispersione della curva attorno alla media. Oltre che da un punto di vista grafico, i primi due momenti della v.a. descrivono completamente la densitÓ anche dal punto di vista analitico; pertanto, la stima di questi (ad esempio a partire da un buon numero di realizzazioni5.27) Ŕ sufficiente per descrivere completamente il fenomeno aleatorio.

La v.a. gaussiana descrive bene una moltitudine di fenomeni naturali, ed Ŕ dimostrabile analiticamente che la sua densitÓ Ŕ caratteristica di grandezze generate dalla somma di un numero molto elevato di cause aleatorie, tutte con la medesima DDP5.28 (teorema del limite centrale).

La funzione di distribuzione di questa v.a. non Ŕ calcolabile in forma chiusa; fortunatamente per˛, stante la necessitÓ di conoscere la probabilitÓ di eventi gaussiani, sono disponibili tabelle e grafici, che riportano il valore numerico dell'integrale che definisce tali valori di probabilitÓ.

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\resizebox* {0.3\columnwidth}{!}{\includegraphics{cap5/f5.13.ps}}

Per renderci conto della situazione, proviamo a calcolare la probabilitÓ che X non superi un certo valore x, pari per definizione alla funzione di distribuzione, e rappresentata dall'area tratteggiata in figura (per semplicitÓ ci riferiamo ad una gaussiana a media nulla):

FX$ \left(\vphantom{ x}\right.$x$ \left.\vphantom{ x}\right)$ = Pr$ \left\{\vphantom{ X\leq x}\right.$X $ \leq$ x$ \left.\vphantom{ X\leq x}\right\}$ = $ \int_{-\infty }^{x}$pX$ \left(\vphantom{ \theta }\right.$$ \theta$ $ \left.\vphantom{ \theta }\right)$d$ \theta$ = 1 - $ \int_{x}^{\infty }$$ {\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma _{x}}}$e- $\scriptstyle {\frac{\theta ^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}$d$ \theta$. Effettuiamo ora un cambio di variabile, ponendo $ {\frac{\theta ^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}$ = $ \eta^{2}_{}$, per cui in corrispondenza di $ \theta$ = x si ha $ \eta$ = $ {\frac{x}{\sqrt{2}\sigma _{x}}}$, e risulta d$ \theta$ = $ \sqrt{2}$$ \sigma_{x}^{}$d$ \eta$. Con queste posizioni, possiamo riscrivere

FX$\displaystyle \left(\vphantom{ x}\right.$x$\displaystyle \left.\vphantom{ x}\right)$ = 1 - $\displaystyle \int_{\frac{x}{\sqrt{2}\sigma _{x}}}^{\infty }$$\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma _{x}}}$e- $\scriptstyle \eta^{2}$$\displaystyle \sqrt{2}$$\displaystyle \sigma_{x}^{}$d$\displaystyle \eta$ = 1 - $\displaystyle \int_{\frac{x}{\sqrt{2}\sigma _{x}}}^{\infty }$$\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{\pi }}}$e- $\scriptstyle \eta^{2}$d$\displaystyle \eta$ = 1 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$erfc$\displaystyle \left\{\vphantom{ \frac{x}{\sqrt{2}\sigma _{x}}}\right.$$\displaystyle {\frac{x}{\sqrt{2}\sigma _{x}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{x}{\sqrt{2}\sigma _{x}}}\right\}$

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                    \resizebox* {0.3\columnwidth}{!}{\includegraphics{cap5/f5.14.ps}}

 

 

\resizebox* {0.4\columnwidth}{!}{\includegraphics{cap5/f5.15.ps}}

 

 

 

Cosa Ŕ successo ? Semplicemente, abbiamo espresso l'integrale (irrisolvibile in forma chiusa) nei termini della ``funzione'' erfc$ \left\{\vphantom{ .}\right.$.$ \left.\vphantom{ .}\right\}$, che rappresenta la probabilitÓ che una v.a. gaussiana a media nulla e varianza $ {\frac{1}{2}}$ superi (in valore assoluto) il valore dato come argomento, come mostrato in figura, e pari a

erfc$\displaystyle \left\{\vphantom{ \alpha }\right.$$\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \alpha }\right\}$ = 2$\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{\pi }}}$$\displaystyle \int_{\alpha }^{\infty }$e-x2dx

I valori di erfc in funzione del suo argomento sono reperibili sia in forma di tabelle numeriche, che in forma di diagrammi quotati5.29.

In linea generale quindi, volendo calcolare la probabilitÓ che una v.a. gaussiana X, con media mx e varianza $ \sigma^{2}_{x}$, superi in ampiezza un determinato valore $ \alpha$, l'unica strada percorribile Ŕ quella di utilizzare la funzione erfc, avendo cura di porre come argomento il valore di $ \alpha$ debitamente scalato, per ricondursi ad una gaussiana a media nulla e varianza $ {\frac{1}{2}}$:

Pr$\displaystyle \left\{\vphantom{ X>\alpha }\right.$X > $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \left.\vphantom{ X>\alpha }\right\}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$erfc$\displaystyle \left\{\vphantom{ \frac{\alpha -m_{X}}{\sqrt{2}\sigma _{x}}}\right.$$\displaystyle {\frac{\alpha -m_{X}}{\sqrt{2}\sigma _{x}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{\alpha -m_{X}}{\sqrt{2}\sigma _{x}}}\right\}$


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alef@infocom.uniroma1.it
2001-06-01