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Probabilità di errore

Come anticipato, il decisore presente al lato ricevente di una trasmissione numerica opera su un segnale x$ \left(\vphantom{ t}\right.$t$ \left.\vphantom{ t}\right)$ = r$ \left(\vphantom{ t}\right.$t$ \left.\vphantom{ t}\right)$ + n$ \left(\vphantom{ t}\right.$t$ \left.\vphantom{ t}\right)$, ovvero il segnale ricevuto r$ \left(\vphantom{ t}\right.$t$ \left.\vphantom{ t}\right)$ è ``corrotto'' da un disturbo additivo n$ \left(\vphantom{ t}\right.$t$ \left.\vphantom{ t}\right)$ realizzazione di un processo stazionario ergodico gaussiano. Nel caso in cui siano presenti più cause di disturbo, anche localizzate in punti diversi del collegamento, si fa in modo di ricondurle tutte ad un'unica fonte di rumore (equivalente) in ingresso al decisore.

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\resizebox* {0.45\textwidth}{!}{\includegraphics{cap5/f5.16.ps}}

Più precisamente, il disturbo n$ \left(\vphantom{ t}\right.$t$ \left.\vphantom{ t}\right)$ è caratterizzato da un valor medio nullo, da uno spettro di densità di potenza bianco (ossia costante)

$\displaystyle \mathcal {P}$N$\displaystyle \left(\vphantom{ f}\right.$f$\displaystyle \left.\vphantom{ f}\right)$ = $\displaystyle {\frac{N_{_{0}}}{2}}$

e da una varianza $ \sigma^{2}_{N}$ pari alla potenza5.30 $ \mathcal {P}$N di una sua realizzazione qualsiasi (per l'ergodicità). Allo scopo di limitare $ \mathcal {P}$N alla minima possibile, in ingresso al ricevitore è posto un filtro passa-basso ideale con risposta in frequenza HR$ \left(\vphantom{ f}\right.$f$ \left.\vphantom{ f}\right)$ limitata in una banda $ \pm$BN (detta banda di rumore), tale da lasciar passare il segnale r$ \left(\vphantom{ t}\right.$t$ \left.\vphantom{ t}\right)$ per intero, e limitare al tempo stesso la $ \mathcal {P}$N$ \left(\vphantom{ f}\right.$f$ \left.\vphantom{ f}\right)$ alla minore estensione possibile: pertanto, la potenza del rumore in uscita da HR$ \left(\vphantom{ f}\right.$f$ \left.\vphantom{ f}\right)$ risulta (come vedremo al Capitolo 7) pari a

$\displaystyle \mathcal {P}$N' = $\displaystyle \int_{-\infty }^{\infty }$$\displaystyle \mathcal {P}$N$\displaystyle \left(\vphantom{ f}\right.$f$\displaystyle \left.\vphantom{ f}\right)$$\displaystyle \left\vert\vphantom{ H_{R}\left( f\right) }\right.$HR$\displaystyle \left(\vphantom{ f}\right.$f$\displaystyle \left.\vphantom{ f}\right)$ $\displaystyle \left.\vphantom{ H_{R}\left( f\right) }\right\vert^{2}_{}$df = $\displaystyle \int_{-B_{N}}^{B_{N}}$$\displaystyle {\frac{N_{_{0}}}{2}}$df = N0BN

Svolgiamo l'analisi indicando il segnale ricevuto nella forma

r$\displaystyle \left(\vphantom{ t}\right.$t$\displaystyle \left.\vphantom{ t}\right)$ = $\displaystyle \sum_{k}^{}$a$\displaystyle \left[\vphantom{ k}\right.$k$\displaystyle \left.\vphantom{ k}\right]$ . g$\displaystyle \left(\vphantom{ t-kT_{c}}\right.$t - kTc$\displaystyle \left.\vphantom{ t-kT_{c}}\right)$

in cui g$ \left(\vphantom{ t}\right.$t$ \left.\vphantom{ t}\right)$ è una caratteristica di Nyquist, in modo da evitare l'insorgenza di ISI5.31; ed ogni simbolo a$ \left[\vphantom{ k}\right.$k$ \left.\vphantom{ k}\right]$ è un elemento di una sequenza aleatoria a valori discreti, pari questi ultimi agli L valori di ampiezza ai, i = 1, 2,.., L - 1, distribuiti entro un intervallo con dinamica pari a aL - a1 = $ \Delta$. Agli istanti multipli del periodo di simbolo t = kTL = k/fL, il decisore esamina il valore del segnale x$ \left(\vphantom{ t}\right.$t$ \left.\vphantom{ t}\right)$ = r$ \left(\vphantom{ t}\right.$t$ \left.\vphantom{ t}\right)$ + n$ \left(\vphantom{ t}\right.$t$ \left.\vphantom{ t}\right)$, ed anzichè ritrovare i valori ai trasmessi, osserva la realizzazione di una variabile aleatoria gaussiana, con media pari al valore ai, e varianza $ \sigma^{2}_{N}$ = N0BN. Chiaramente, il ricevitore non conosce quale valore sia stato trasmesso in quell'istante, ed effettua una decisione di massima verosimiglianza confrontando tra loro le densità di probabilità condizionate alle diverse ipotesi ai

PX/ai$\displaystyle \left(\vphantom{ x}\right.$x$\displaystyle \left.\vphantom{ x}\right)$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma _{N}}}$exp$\displaystyle \left\{\vphantom{ -\frac{\left( x-a_{i}\right) ^{2}}{2\sigma _{N}^{2}}}\right.$ - $\displaystyle {\frac{\left( x-a_{i}\right) ^{2}}{2\sigma _{N}^{2}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ -\frac{\left( x-a_{i}\right) ^{2}}{2\sigma _{N}^{2}}}\right\}$

e scegliendo per l' $ \widehat{a_{i}}$ tale che PX/$\scriptstyle \widehat{a_{i}}$$ \left(\vphantom{ x}\right.$x$ \left.\vphantom{ x}\right)$ è la più grande.

Questo procedimento, nel caso in cui i valori ai siano equispaziati, equivale (vedi figura seguente) a definire L - 1 soglie di decisione $ \theta_{i}^{}$, i = 1, 2,.., L - 1, poste a metà tra i valori ai ed ai + 1, e decidere per il valore ai se il segnale ricevuto x$ \left(\vphantom{ kT_{L}}\right.$kTL$ \left.\vphantom{ kT_{L}}\right)$ cade all'interno dell'intervallo compreso tra $ \theta_{i-1}^{}$ e $ \theta_{i}^{}$ (5.32). La probabilità di errore che vogliamo determinare costituisce quindi la probabilità che x$ \left(\vphantom{ kT_{L}}\right.$kTL$ \left.\vphantom{ kT_{L}}\right)$ oltrepassi una soglia di decisione, ovvero che un campione di rumore sia (in modulo) più grande di $ \alpha$ = $ \left\vert\vphantom{ \theta _{h}-a_{h}}\right.$$ \theta_{h}^{}$ - ah$ \left.\vphantom{ \theta _{h}-a_{h}}\right\vert$ = $ {\frac{\Delta }{2\left( L-1\right) }}$.

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\resizebox* {0.2\columnwidth}{!}{\includegraphics{cap5/f5.17.ps}}

 

\resizebox* {0.3\columnwidth}{!}{\includegraphics{cap5/f5.18.ps}}

L'evento ora definito è un errore, condizionato alla trasmissione di ai, la cui probabilità di verificarsi prende il nome di probabilità di errore condizionata e vale

Pe/ai = 2$\displaystyle \int_{\theta _{i}}^{\infty }$$\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma _{N}}}$exp$\displaystyle \left\{\vphantom{ -\frac{\left( x-a_{i}\right) ^{2}}{2\sigma _{N}^{2}}}\right.$ - $\displaystyle {\frac{\left( x-a_{i}\right) ^{2}}{2\sigma _{N}^{2}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ -\frac{\left( x-a_{i}\right) ^{2}}{2\sigma _{N}^{2}}}\right\}$dx = P$\scriptstyle \alpha$

che chiameremo P$\scriptstyle \alpha$. Lo stesso valore P$\scriptstyle \alpha$ è valido per tutti gli indici h compresi tra 2 ed L - 1, mentre per a1 ed aL la probabilità di errore è dimezzata perché l'errore si verifica solo su di una soglia di decisione: Pe/a1 = Pe/aL = $ {\frac{1}{2}}$P$\scriptstyle \alpha$. Applicando il cambiamento di variabile illustrato nella sezione precedente, troviamo che P$\scriptstyle \alpha$ = erfc$ \left\{\vphantom{ \frac{\theta _{i}-a_{i}}{\sqrt{2}\sigma _{N}}}\right.$$ {\frac{\theta _{i}-a_{i}}{\sqrt{2}\sigma _{N}}}$ $ \left.\vphantom{ \frac{\theta _{i}-a_{i}}{\sqrt{2}\sigma _{N}}}\right\}$; sostituendo a $ \theta_{i}^{}$ - ai la sua ampiezza espressa in termini della dinamica di segnale $ \Delta$, troviamo

P$\scriptstyle \alpha$ = erfc$\displaystyle \left\{\vphantom{ \frac{\Delta }{2\sqrt{2}\sigma _{N}\left( L-1\right) }}\right.$$\displaystyle {\frac{\Delta }{2\sqrt{2}\sigma _{N}\left( L-1\right) }}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{\Delta }{2\sqrt{2}\sigma _{N}\left( L-1\right) }}\right\}$

Per arrivare all'espressione della probabilità di errore incondizionata5.33, occorre eseguire una operazione di valore atteso rispetto a tutti gli indici i, con i = 1, 2,..., L, ovvero pesare le diverse probabilità di errore condizionate per le rispettive probabilità degli eventi condizionanti. Nel caso in cui i valori ai siano equiprobabili, con probabilità Pr$ \left(\vphantom{ a_{i}}\right.$ai$ \left.\vphantom{ a_{i}}\right)$ = $ {\frac{1}{L}}$, si ottiene:

Pe = Eai$\displaystyle \left\{\vphantom{ P_{e/a_{i}}}\right.$Pe/ai$\displaystyle \left.\vphantom{ P_{e/a_{i}}}\right\}$ = $\displaystyle \sum_{i=1}^{L}$Pr$\displaystyle \left(\vphantom{ a_{i}}\right.$ai$\displaystyle \left.\vphantom{ a_{i}}\right)$Pe/ai = $\displaystyle {\frac{1}{L}}$$\displaystyle \left[\vphantom{ \left( L-2\right) P_{\alpha }+2\frac{1}{2}P_{\alpha }}\right.$$\displaystyle \left(\vphantom{ L-2}\right.$L - 2$\displaystyle \left.\vphantom{ L-2}\right)$P$\scriptstyle \alpha$ + 2$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$P$\scriptstyle \alpha$$\displaystyle \left.\vphantom{ \left( L-2\right) P_{\alpha }+2\frac{1}{2}P_{\alpha }}\right]$ = $\displaystyle \left(\vphantom{ 1-\frac{1}{L}}\right.$1 - $\displaystyle {\frac{1}{L}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ 1-\frac{1}{L}}\right)$P$\scriptstyle \alpha$

in cui si è tenuto conto della diversa probabilità condizionata per i livelli interni e per i due agli estremi. Il risultato ottenuto, benchè già idoneo a valutare la Pe, può essere ulteriormente elaborato per ottenere espressioni più adatte ai progetti di dimensionamento.


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alef@infocom.uniroma1.it
2001-06-01