Avanti: Dipendenza di Pe da SNR
Su: Probabilità di Errore nelle Trasmissioni Numeriche
Indietro: Gaussiana
  Indice
  Indice analitico
Come anticipato, il decisore presente al lato ricevente di una trasmissione
numerica opera su un segnale
xt = rt + nt,
ovvero il segnale ricevuto
rt è ``corrotto'' da un disturbo
additivo
nt realizzazione di un processo stazionario ergodico
gaussiano. Nel caso in cui siano presenti più cause di disturbo, anche localizzate
in punti diversi del collegamento, si fa in modo di ricondurle tutte ad un'unica
fonte di rumore (equivalente) in ingresso al decisore.
Più precisamente, il disturbo
nt è caratterizzato da un
valor medio nullo, da uno spettro di densità di potenza bianco (ossia
costante)
e da una varianza
pari alla potenza5.30
N di una sua realizzazione qualsiasi (per l'ergodicità).
Allo scopo di limitare
N alla minima possibile, in ingresso
al ricevitore è posto un filtro passa-basso ideale con risposta in frequenza
HRf limitata in una banda BN (detta banda
di rumore), tale da lasciar passare il segnale
rt per
intero, e limitare al tempo stesso la
Nf
alla minore estensione possibile: pertanto, la potenza del rumore in uscita
da
HRf risulta (come vedremo al Capitolo 7) pari a
Svolgiamo l'analisi indicando il segnale ricevuto nella forma
in cui
gt è una caratteristica di Nyquist, in modo da
evitare l'insorgenza di ISI5.31; ed ogni simbolo
ak è un elemento di una sequenza aleatoria
a valori discreti, pari questi ultimi agli L valori di ampiezza ai,
i = 1, 2,.., L - 1, distribuiti entro un intervallo con dinamica pari a
aL - a1 = .
Agli istanti multipli del periodo di simbolo
t = kTL = k/fL, il decisore
esamina il valore del segnale
xt = rt + nt,
ed anzichè ritrovare i valori ai trasmessi, osserva la realizzazione
di una variabile aleatoria gaussiana, con media pari al valore ai,
e varianza
= N0BN. Chiaramente, il ricevitore
non conosce quale valore sia stato trasmesso in quell'istante, ed effettua una
decisione di massima verosimiglianza confrontando tra loro le densità di probabilità
condizionate alle diverse ipotesi ai
e scegliendo per l'
tale che
PX/x
è la più grande.
Questo procedimento, nel caso in cui i valori ai siano equispaziati,
equivale (vedi figura seguente) a definire L - 1 soglie di decisione
,
i = 1, 2,.., L - 1, poste a metà tra i valori ai ed ai + 1,
e decidere per il valore ai se il segnale ricevuto
xkTL
cade all'interno dell'intervallo compreso tra
e
(5.32). La probabilità di errore che vogliamo determinare costituisce quindi la probabilità
che
xkTL oltrepassi una soglia di decisione, ovvero
che un campione di rumore sia (in modulo) più grande di
= - ah = .
L'evento ora definito è un errore, condizionato alla trasmissione di ai,
la cui probabilità di verificarsi prende il nome di probabilità di errore condizionata
e vale
che chiameremo
P. Lo stesso valore
P è valido
per tutti gli indici h compresi tra 2 ed L - 1, mentre per
a1 ed aL la probabilità di errore è dimezzata perché l'errore
si verifica solo su di una soglia di decisione:
Pe/a1 = Pe/aL = P.
Applicando il cambiamento di variabile illustrato nella sezione precedente,
troviamo che
P = erfc ;
sostituendo a
- ai la sua ampiezza espressa in termini della
dinamica di segnale , troviamo
Per arrivare all'espressione della probabilità di errore incondizionata5.33, occorre eseguire una operazione di valore atteso rispetto a tutti gli indici
i, con
i = 1, 2,..., L, ovvero pesare le diverse probabilità di errore
condizionate per le rispettive probabilità degli eventi condizionanti. Nel caso
in cui i valori ai siano equiprobabili, con probabilità
Prai = ,
si ottiene:
in cui si è tenuto conto della diversa probabilità condizionata per i livelli
interni e per i due agli estremi. Il risultato ottenuto, benchè già idoneo a
valutare la Pe, può essere ulteriormente elaborato per ottenere espressioni
più adatte ai progetti di dimensionamento.
Avanti: Dipendenza di Pe da SNR
Su: Probabilità di Errore nelle Trasmissioni Numeriche
Indietro: Gaussiana
  Indice
  Indice analitico
alef@infocom.uniroma1.it
2001-06-01