Correlazione

Questa grandezza dipende dalla definizione di un valore atteso, formalmente analogo a quanto già visto per il caso unidimensionale, che prende il nome di momento misto di ordine $\left(\vphantom{ i,j}\right.$i, j$\left.\vphantom{ i,j}\right)$ e che risulta:

m_X1X2^{$\left(\vphantom{ i,j}\right.$i, j$\left.\vphantom{ i,j}\right)$} = E_X1X2$$\left\{\vphantom{ x_{1}^{i}x_{2}^{j}}\right.$$x₁ⁱx₂^j$$\left.\vphantom{ x_{1}^{i}x_{2}^{j}}\right\}$$ = $$\int$$$$\int$$x₁ⁱx₂^jp_X1X2$$\left(\vphantom{ x_{1}x_{2};t_{1}t_{2}}\right.$$x₁x₂;t₁t₂$$\left.\vphantom{ x_{1}x_{2};t_{1}t_{2}}\right)$$dx₁dx₂

e che nel caso in cui i = j = 1 prende il nome di correlazione e si indica come

$$\mathcal {R}$$_X$$\left(\vphantom{ x\left( t_{1}\right) ,x\left( t_{2}\right) }\right.$$x$$\left(\vphantom{ t_{1}}\right.$$t₁$$\left.\vphantom{ t_{1}}\right)$$, x$$\left(\vphantom{ t_{2}}\right.$$t₂$$\left.\vphantom{ t_{2}}\right)$$ $$\left.\vphantom{ x\left( t_{1}\right) ,x\left( t_{2}\right) }\right)$$ = m_X1X2^{$\left(\vphantom{ 1,1}\right.$1, 1$\left.\vphantom{ 1,1}\right)$}

Prima di proseguire, soffermiamoci un istante per meglio comprendere il significato di m_X1X2^{$\left(\vphantom{ 1,1}\right.$1, 1$\left.\vphantom{ 1,1}\right)$}. La correlazione fra due variabili aleatorie indica il legame che esiste tra le due^7.1, nel senso di quanto l'una ha un valore simile all'altra, ed ha un valore assoluto tanto più elevato quanto più i valori di x₁ e x₂ sono legati in modo deterministico^7.2: in effetti però, seguendo gli esempi riportati nella nota, non sempre questo accade, e pertanto è opportuno basarsi sull'uso di momenti centrati come descritto al punto successivo.