Rappresentazione dei processi in banda traslata

Finora abbiamo trattato i casi di segnali di energia e di potenza; per ottenere una rappresentazione adeguata anche dei processi, occorre ancora un po' di teoria. Il lettore impaziente, o timoroso di perdersi tra i calcoli (che sono effettivamente intricati), può saltare direttamente alle conclusioni, che sarano le uniche che ci serviranno per il resto del testo. Altrimenti, armiamoci di pazienza e partiamo.

Siamo ora interessati ad ottenere, una volta noto uno spettro di densità di potenza $\mathcal {P}$_x$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ limitato in banda attorno ad f₀, delle rappresentazioni utili per gli spettri di densità di potenza delle componenti analogiche di bassa frequenza, ovvero espressioni per le loro funzioni di autocorrelazione. Infatti, come abbiamo visto, il passaggio di un segnale in banda traslata attraverso un filtro può essere scomposto in 4 filtraggi in banda base: pertanto la rappresentazione delle C.A. di B.F. è sufficiente per ottenere tutte le altre grandezze di interesse.

Osserviamo innanzitutto che, se un processo aleatorio presenta una $\mathcal {P}$_x$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ limitata in banda attorno ad f₀, allora la funzione di autocorrelazione $\mathcal {R}$_x$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$ = $\mathcal {F}$^-1$\left\{\vphantom{ \mathcal{P}_{x}\left( f\right) }\right.$$\mathcal {P}$_x$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ $\left.\vphantom{ \mathcal{P}_{x}\left( f\right) }\right\}$ può essere espressa in termini delle componenti analogiche di bassa frequenza della funzione di autocorrelazione stessa:

$$\mathcal {R}$$_x$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$ = $$\mathcal {R}$$_c$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$cos$$\omega_{0}^{}$$t - $$\mathcal {R}$$_s$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$sin$$\omega_{0}^{}$$t

Pertanto, non si ottengono direttamente le C.A. di B.F. del processo, come invece accade per segnali di energia di cui è noto $\underline{X}$$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$. D'altra parte, è innegabile che una realizzazione di x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ sia limitata in banda centrata a f₀, e che quindi per essa debba esistere la rappresentazione x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = x_c$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$cos$\omega_{0}^{}$t - x_s$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$sin$\omega_{0}^{}$t; data la natura aleatoria di x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, gli stessi x_c$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ ed x_s$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ sono realizzazioni di processi. Questi ultimi in generale non sono indipendenti tra loro, in quanto la loro combinazione deve produrre un x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ che appartiene al processo originario. Si pensi ad esempio al segnale x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = x_c$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$cos$\omega_{0}^{}$t, in cui x_c$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ è stazionario ed ergodico: come già osservato al § 7.6.1, x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ è solamente ciclostazionario.

Come prima cosa, proviamo a calcolare la funzione di autocorrelazione dell'inviluppo complesso di una generica realizzazione:

$$\mathcal {R}$$$\underline{x}$$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$	=	E$$\left\{\vphantom{ \underline{x}^{*}\left( \tau \right) \underline{x}\left( t+\tau \right) }\right.$$$$\underline{x}^{*}_{}$$$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$$$\underline{x}$$$$\left(\vphantom{ t+\tau }\right.$$t + $$\tau$$ $$\left.\vphantom{ t+\tau }\right)$$ $$\left.\vphantom{ \underline{x}^{*}\left( \tau \right) \underline{x}\left( t+\tau \right) }\right\}$$ = E$$\left\{\vphantom{ \left[ x_{c}\left( \tau \right) -jx_{s}\left( \... ...\left[ x_{c}\left( t+\tau \right) +jx_{s}\left( t+\tau \right) \right] }\right.$$$$\left[\vphantom{ x_{c}\left( \tau \right) -jx_{s}\left( \tau \right) }\right.$$xc$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$ - jxs$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$ $$\left.\vphantom{ x_{c}\left( \tau \right) -jx_{s}\left( \tau \right) }\right]$$$$\left[\vphantom{ x_{c}\left( t+\tau \right) +jx_{s}\left( t+\tau \right) }\right.$$xc$$\left(\vphantom{ t+\tau }\right.$$t + $$\tau$$ $$\left.\vphantom{ t+\tau }\right)$$ + jxs$$\left(\vphantom{ t+\tau }\right.$$t + $$\tau$$ $$\left.\vphantom{ t+\tau }\right)$$ $$\left.\vphantom{ x_{c}\left( t+\tau \right) +jx_{s}\left( t+\tau \right) }\right]$$ $$\left.\vphantom{ \left[ x_{c}\left( \tau \right) -jx_{s}\left( \t... ...left[ x_{c}\left( t+\tau \right) +jx_{s}\left( t+\tau \right) \right] }\right\}$$ =
	=	E$$\left\{\vphantom{ x_{c}\left( \tau \right) x_{c}\left( t+\tau \ri... ...u \right) -x_{s}\left( \tau \right) x_{c}\left( t+\tau \right) \right] }\right.$$xc$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$xc$$\left(\vphantom{ t+\tau }\right.$$t + $$\tau$$ $$\left.\vphantom{ t+\tau }\right)$$ + xs$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$xs$$\left(\vphantom{ t+\tau }\right.$$t + $$\tau$$ $$\left.\vphantom{ t+\tau }\right)$$ + j$$\left[\vphantom{ x_{c}\left( \tau \right) x_{s}\left( t+\tau \right) -x_{s}\left( \tau \right) x_{c}\left( t+\tau \right) }\right.$$xc$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$xs$$\left(\vphantom{ t+\tau }\right.$$t + $$\tau$$ $$\left.\vphantom{ t+\tau }\right)$$ - xs$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$xc$$\left(\vphantom{ t+\tau }\right.$$t + $$\tau$$ $$\left.\vphantom{ t+\tau }\right)$$ $$\left.\vphantom{ x_{c}\left( \tau \right) x_{s}\left( t+\tau \right) -x_{s}\left( \tau \right) x_{c}\left( t+\tau \right) }\right]$$ $$\left.\vphantom{ x_{c}\left( \tau \right) x_{c}\left( t+\tau \rig... ... \right) -x_{s}\left( \tau \right) x_{c}\left( t+\tau \right) \right] }\right\}$$ =
	=	$$\mathcal {R}$$xc$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$ + $$\mathcal {R}$$xs$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$ + j$$\left[\vphantom{ \mathcal{R}_{x_{c}x_{s}}\left( \tau \right) -\mathcal{R}_{x_{s}x_{c}}\left( \tau \right) }\right.$$$$\mathcal {R}$$xcxs$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$ - $$\mathcal {R}$$xsxc$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$ $$\left.\vphantom{ \mathcal{R}_{x_{c}x_{s}}\left( \tau \right) -\mathcal{R}_{x_{s}x_{c}}\left( \tau \right) }\right]$$

queste 4 quantità sono calcolate in appendice. Il risultato finale dei calcoli, nel caso in cui x_c$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ e x_s$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ siano stazionari ed ergodici, fornisce le espressioni:

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{llll} \mathcal{R}_{x_{c}}\left( \... ...u -\mathcal{R}_{x}\left( \tau \right) \sin \omega _{0}\tau \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{llll} \mathcal{R}_{x_{c}}\left( \tau \right) & = & ... ... _{0}\tau -\mathcal{R}_{x}\left( \tau \right) \sin \omega _{0}\tau \end{array}$$

in cui $\widehat{\mathcal{R}}_{x}^{}$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$ = $\mathcal {H}$$\left\{\vphantom{ \mathcal{R}_{x}\left( \tau \right) }\right.$$\mathcal {R}$_x$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$ $\left.\vphantom{ \mathcal{R}_{x}\left( \tau \right) }\right\}$ è la trasformata di Hilbert di $\mathcal {R}$_x$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$. Osserviamo quindi come risulti $\mathcal {R}$_{$\underline{x}$}$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$ = 2$\left[\vphantom{ \mathcal{R}_{x_{c}}\left( \tau \right) +j\mathcal{R}_{x_{c}x_{s}}\left( \tau \right) }\right.$$\mathcal {R}$_xc$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$ + j$\mathcal {R}$_xcxs$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$ $\left.\vphantom{ \mathcal{R}_{x_{c}}\left( \tau \right) +j\mathcal{R}_{x_{c}x_{s}}\left( \tau \right) }\right]$, e pertanto $\mathcal {P}$_{$\underline{x}$}$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ = 2$\left[\vphantom{ \mathcal{P}_{x_{c}}\left( f\right) +j\mathcal{P}_{x_{c}x_{s}}\left( f\right) }\right.$$\mathcal {P}$_xc$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ + j$\mathcal {P}$_xcxs$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ $\left.\vphantom{ \mathcal{P}_{x_{c}}\left( f\right) +j\mathcal{P}_{x_{c}x_{s}}\left( f\right) }\right]$.

• Da quest'ultima espressione, sembrerebbe che $\mathcal {P}$_{$\underline{x}$}$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ possa assumere valori complessi, perdendo così il senso fisico di potenza: ma non è così. Osserviamo infatti che $\mathcal {R}$_xcxs$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$ è un segnale reale dispari^8.22 : pertanto $\mathcal {P}$_xcxs$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ = $\mathcal {F}$$\left\{\vphantom{ \mathcal{R}_{x_{c}x_{s}}\left( \tau \right) }\right.$$\mathcal {R}$_xcxs$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$ $\left.\vphantom{ \mathcal{R}_{x_{c}x_{s}}\left( \tau \right) }\right\}$ è completamente immaginario, e dunque $\mathcal {P}$_{$\underline{x}$}$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ è reale.
• Se risultasse $\mathcal {R}$_xcxs$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$ = 0 per ogni $\tau$ allora $\mathcal {P}$_xcxs$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ = 0 e $\mathcal {P}$_{$\underline{x}$}$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ = 2$\mathcal {P}$_xc$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ sarebbe reale pari; la presenza di $\mathcal {P}$_xcxs$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ lo può invece rendere asimmetrico, permettendo di ottenere ancora $\mathcal {P}$_{$\underline{x}$}$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ = 4$\mathcal {P}$_x⁺$\left(\vphantom{ f+f_{0}}\right.$f + f₀$\left.\vphantom{ f+f_{0}}\right)$ (non dimostrato),
• Corollario del punto precedente è che, se $\mathcal {P}$_x$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ è simmetrico rispetto ad f₀, allora $\mathcal {R}$_xcxs$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$ = 0 e le due C.A. di B.F. sono incorrelate; se inoltre queste sono congiuntamente gaussiane, allora risultano anche statisticamente indipendenti.
• Dato che $\mathcal {R}$_xcxs$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$ = - $\mathcal {R}$_xsxc$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$ sono dispari, deve risultare che $\mathcal {R}$_xcxs$\left(\vphantom{ 0}\right.$ 0$\left.\vphantom{ 0}\right)$ = - $\mathcal {R}$_xsxc$\left(\vphantom{ 0}\right.$ 0$\left.\vphantom{ 0}\right)$ = 0; se i processi sono a media nulla, allora la potenza è pari al valore dell'autocorrelazione per $\tau$ = 0, e quindi
  $$\mathcal {P}$$_{$\underline{x}$} = $$\sigma_{\underline{x}}^{2}$$ = $$\mathcal {R}$$_{$\underline{x}$}$$\left(\vphantom{ 0}\right.$$ 0$$\left.\vphantom{ 0}\right)$$ = 2$$\mathcal {R}$$_xc$$\left(\vphantom{ 0}\right.$$ 0$$\left.\vphantom{ 0}\right)$$ = 2$$\mathcal {R}$$_xs$$\left(\vphantom{ 0}\right.$$ 0$$\left.\vphantom{ 0}\right)$$ = 2$$\sigma_{x_{c}}^{2}$$ = 2$$\sigma_{x_{s}}^{2}$$ = 2$$\mathcal {P}$$_xc = 2$$\mathcal {P}$$_xs
  In definitiva, le componenti analogiche di bassa frequenza hanno entrambe potenza metà di quella dell'inviluppo complesso.
• x_c$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ e x_s$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ hanno (ciascuna) potenza pari a quella di x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, ovvero $\mathcal {P}$_xc = $\mathcal {P}$_xs = $\mathcal {P}$_x; infatti, ricordando che $\mathcal {P}$_{$\underline{x}$}$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ = 4$\mathcal {P}$_x⁺$\left(\vphantom{ f+f_{0}}\right.$f + f₀$\left.\vphantom{ f+f_{0}}\right)$, si ottiene $\mathcal {P}$_{$\underline{x}$} = 4$\mathcal {P}$_x⁺. Dovendo chiaramente risultare $\mathcal {P}$_x = $\mathcal {P}$_x⁺ + $\mathcal {P}$_x^-, si ottiene
  $$\mathcal {P}$$_x = $${\textstyle\frac{1}{4}}$$$$\left[\vphantom{ \mathcal{P}_{\underline{x}}+\mathcal{P}_{\underline{x}}}\right.$$$$\mathcal {P}$$_{$\underline{x}$} + $$\mathcal {P}$$_{$\underline{x}$}$$\left.\vphantom{ \mathcal{P}_{\underline{x}}+\mathcal{P}_{\underline{x}}}\right]$$ = $${\textstyle\frac{1}{2}}$$$$\mathcal {P}$$_{$\underline{x}$} = $$\mathcal {P}$$_xc = $$\mathcal {P}$$_xs

• E' possibile mostrare che, volendo esprimere l'autocorrelazione di x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ in termini delle sue C.A. di B.F. $\mathcal {R}$_x$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$ = $\mathcal {R}$_c$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$cos$\omega_{0}^{}$$\tau$ - $\mathcal {R}$_s$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$sin$\omega_{0}^{}$$\tau$, risulta
  $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} \mathcal{R}_{c}\left( \tau \ri... ...\tau \right) =-\mathcal{R}_{x_{c}x_{s}}\left( \tau \right) \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} \mathcal{R}_{c}\left( \tau \right) =\mathcal{R}_... ...}\left( \tau \right) =-\mathcal{R}_{x_{c}x_{s}}\left( \tau \right) \end{array}$$
  da cui è possibile mostrare che $\mathcal {R}$_x$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$ = $\mathcal {R}$_{$\widehat{x}$}$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$.
• Volendo valutare $\mathcal {P}$_xc$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$, questo risulta identico a $\mathcal {P}$_xs$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$, in quanto (come già visto) $\mathcal {R}$_xc$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$ = $\mathcal {R}$_xs$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$ = $\mathcal {R}$_x$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$cos$\omega_{0}^{}$$\tau$ + $\widehat{\mathcal{R}}_{x}^{}$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$sin$\omega_{0}^{}$$\tau$; applicando ora la formula di Eulero per seno e coseno si ottiene

  $$\mathcal {R}$$xc$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$ = $$\mathcal {R}$$xs$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$	=	$$\mathcal {R}$$x$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$$${\frac{e^{j\omega _{0}\tau }+e^{-j\omega _{0}\tau }}{2}}$$ + $$\widehat{\mathcal{R}}_{x}^{}$$$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$$${\frac{e^{j\omega _{0}\tau }-e^{-j\omega _{0}\tau }}{2j}}$$
  	=	$${\textstyle\frac{1}{2}}$$$$\left[\vphantom{ \mathcal{R}_{x}\left( \tau \right) -j\widehat{\mathcal{R}}_{x}\left( \tau \right) }\right.$$$$\mathcal {R}$$x$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$ - j$$\widehat{\mathcal{R}}_{x}^{}$$$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$ $$\left.\vphantom{ \mathcal{R}_{x}\left( \tau \right) -j\widehat{\mathcal{R}}_{x}\left( \tau \right) }\right]$$ej$\omega_{0}$$\tau$ + $${\textstyle\frac{1}{2}}$$$$\left[\vphantom{ \mathcal{R}_{x}\left( \tau \right) +j\widehat{\mathcal{R}}_{x}\left( \tau \right) }\right.$$$$\mathcal {R}$$x$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$ + j$$\widehat{\mathcal{R}}_{x}^{}$$$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$ $$\left.\vphantom{ \mathcal{R}_{x}\left( \tau \right) +j\widehat{\mathcal{R}}_{x}\left( \tau \right) }\right]$$e-j$\omega_{0}$$\tau$
  	=	$$\mathcal {R}$$x-$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$ej$\omega_{0}$$\tau$ + $$\mathcal {R}$$x+$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$e-j$\omega_{0}$$\tau$

  infatti i termini tra parentesi quadre corrispondono alla definizione di componenti a frequenze positive e negative ottenute tramite trasformata di Hilbert.