Serie Trigonometrica

Nel caso in cui gli X_n abbiano simmetria coniugata, la formula di ricostruzione può scriversi

x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ = X₀ + $$\sum^{\infty }_{n=1}$$$$\left\{\vphantom{ X_{n}\, \hbox {e}^{j2\pi nFt}+X_{-n}\, \hbox {e}^{-j2\pi nFt}}\right.$$X_n e^j2$\pi$nFt + X_-n e^-j2$\pi$nFt$$\left.\vphantom{ X_{n}\, \hbox {e}^{j2\pi nFt}+X_{-n}\, \hbox {e}^{-j2\pi nFt}}\right\}$$ = M₀ + $$\sum^{\infty }_{n=1}$$2M_ncos$$\left(\vphantom{ 2\pi nFt+\varphi _{n}}\right.$$2$$\pi$$nFt + $$\varphi_{n}^{}$$ $$\left.\vphantom{ 2\pi nFt+\varphi _{n}}\right)$$

ovvero in forma di serie di coseni; si noti che X₀ è necessariamente reale, in quanto la fase deve risultare una funzione dispari della frequenza.

In modo simile, le proprietà relative alle parti reale ed immaginaria permettono di scrivere:

$$\left(\vphantom{ t}\right. \left.\vphantom{ t}\right) \sum^{\infty }_{n=1} \left\{\vphantom{ \left( R_{n}+jI_{n}\right) \, \hbox {e}^{j2\pi nFt}+\left( R_{n}-jI_{n}\right) \, \hbox {e}^{-j2\pi nFt}}\right. \left(\vphantom{ R_{n}+jI_{n}}\right. \left.\vphantom{ R_{n}+jI_{n}}\right) \pi \left(\vphantom{ R_{n}-jI_{n}}\right. \left.\vphantom{ R_{n}-jI_{n}}\right) \pi \left.\vphantom{ \left( R_{n}+jI_{n}\right) \, \hbox {e}^{j2\pi nFt}+\left( R_{n}-jI_{n}\right) \, \hbox {e}^{-j2\pi nFt}}\right\}$$ =

$$\sum^{\infty }_{n=1} \left\{\vphantom{ 2R_{n}\cos \left( 2\pi nFt\right) -2I_{n}\sin \left( 2\pi nFt\right) }\right. \left(\vphantom{ 2\pi nFt}\right. \pi \left.\vphantom{ 2\pi nFt}\right) \left(\vphantom{ 2\pi nFt}\right. \pi \left.\vphantom{ 2\pi nFt}\right) \left.\vphantom{ 2R_{n}\cos \left( 2\pi nFt\right) -2I_{n}\sin \left( 2\pi nFt\right) }\right\}$$ =

in cui R₀ = M₀ = ${\frac{1}{T}}$ $\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}$x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$dt e $\left\{\vphantom{ \begin{array}{rcl} R_{n} & = & \frac{1}{T}\, \int _{-\frac{T... ...ac{T}{2}}x\left( t\right) \, \sin \left( 2\pi nFt\right) dt \end{array}}\right.$$\begin{array}{rcl} R_{n} & = & \frac{1}{T}\, \int _{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}... ...2}}^{\frac{T}{2}}x\left( t\right) \, \sin \left( 2\pi nFt\right) dt \end{array}$.

Pertanto, nel caso in cui x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ sia un segnale reale, la serie di Fourier si riduce ad uno sviluppo in termini di funzioni trigonometriche, ed in particolare ad una serie di soli coseni nel caso in cui x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ sia pari, oppure una serie di soli seni, nel caso in cui sia dispari.

Esempio: Serie di Fourier di un'onda rettangolare

 

0.450000

 Nella figura a lato, è riportata un'onda quadra con un duty cycle^2.5 del 33%, la cui forma d'onda può essere scritta come

x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ = $$\sum^{\infty }_{n=-\infty }$$A rect_$\tau$$$\left(\vphantom{ t-nT}\right.$$t - nT$$\left.\vphantom{ t-nT}\right)$$

dove l'espressione rect_$\tau$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ rappresenta un impulso rettangolare di base $\tau$ ed altezza unitaria, centrato nell'origine dei tempi. L'argomento $\left(\vphantom{ t-nT}\right.$t - nT$\left.\vphantom{ t-nT}\right)$ indica una traslazione (o spostamento) dello stesso in avanti (ossia verso gli istanti positivi) di una quantità pari a nT, cosicché la sommatoria rappresenta appunto la replica dello stesso impulso rettangolare infinite volte in avanti ed all'indietro. Il calcolo dei coefficienti di Fourier per il segnale in questione non presenta particolari difficoltà, ed il risultato si presta ad alcune utili considerazioni. Applicando le formule note si ottiene

$${\frac{1}{T}} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \left(\vphantom{ t}\right. \left.\vphantom{ t}\right) \pi {\frac{1}{T}} \int_{-\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}} \pi {\frac{A}{T}} \left.\vphantom{ \frac{\hbox {e}^{-j2\pi nFt}}{-j2\pi nF}}\right. {\frac{\hbox {e}^{-j2\pi nFt}}{-j2\pi nF}} \left.\vphantom{ \frac{\hbox {e}^{-j2\pi nFt}}{-j2\pi nF}}\right\vert _{-\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}}$$ X_n =

$${\frac{A}{\pi nFT}} {\frac{\hbox {e}^{j2\pi nF\frac{\tau }{2}}-\hbox {e}^{-j2\pi nF\frac{\tau }{2}}}{2j}} {\frac{\tau }{T}} {\frac{\sin \left( \pi nF\tau \right) }{\pi nF\tau }}$$ =

Nella seconda uguaglianza, gli estremi di integrazione sono stati ristretti all'intervallo di effettiva esistenza del segnale, mentre l'ultimo passaggio si giustifica ricordando le formule di Eulero.

I valori X_n si ottengono quindi calcolando l'espressione ${\frac{\sin \left( \pi nF\tau \right) }{\pi nF\tau }}$ per n intero; nella figura in alto a sinistra è raffigurata per comodità la funzione

sinc$$\left(\vphantom{ x}\right.$$x$$\left.\vphantom{ x}\right)$$ = $${\frac{\sin \left( \pi x\right) }{\pi x}}$$

che passa da zero per x intero, e che ricorrerà spesso nel testo. Nella figura al centro sono mostrati i valori degli X_n = A${\frac{\tau }{T}}$sinc$\left(\vphantom{ nF\tau }\right.$nF$\tau$ $\left.\vphantom{ nF\tau }\right)$, in cui si è posto A = 1 e $\tau$ = ${\frac{T}{3}}$ (corrispondente al duty cycle del 33%), e quindi i termini X_n sono nulli in corrispondenza dei valori di n = 3, 6, 9,.... La figura a destra infine, mostra ancora i coefficienti X_n, ma lungo una scala in Hertz, ottenuta considerando che nF = ${\frac{n}{T}}$ rappresenta la frequenza dell'n-esima armonica, e che la posizione $\tau$ = ${\frac{T}{3}}$ adottata fornisce nF = ${\frac{n}{3\tau }}$. Osserviamo ora che, mentre la spaziatura tra le armoniche è pari ad F = ${\frac{1}{T}}$ e dipende esclusivamente dal periodo della forma d'onda, gli zeri della funzione sinc$\left(\vphantom{ nF\tau }\right.$nF$\tau$ $\left.\vphantom{ nF\tau }\right)$ occorrono a frequenze multiple di ${\frac{1}{\tau }}$. Per meglio comprendere le implicazioni di tali osservazioni, valutiamo come si modificano i valori X_n al variare di $\tau$ e di T.

Il lato sinistro della figura mostra cosa accade se $\tau$ raddoppia (sopra) o dimezza (sotto): le armoniche mantengono la stessa spaziatura ${\frac{1}{T}}$, ma l'inviluppo sinc$\left(\vphantom{ nF\tau }\right.$nF$\tau$ $\left.\vphantom{ nF\tau }\right)$ si contrae ed espande rispettivamente. Il lato destro della figura mostra invece il risultato ottenibile variando T con $\tau$ fisso, e scegliendo i valori di T in modo da ottenere lo stesso duty cycle ${\frac{\tau }{T}}$ del lato sinistro: questa volta rimane costante la velocità con cui gli X_n vanno a zero, mentre le armoniche si diradano (sopra) ed infittiscono (sotto) all'aumentare ed al diminuire di T rispettivamente. Infine, notiamo come al diminuire del duty cycle si assista in entrambi i casi ad una riduzione dell'ampiezza degli X_n, legata alla riduzione di potenza del segnale (vedi sezione 2.3).