Prestazioni L-PSK

In questo caso il demodulatore ha una differente architettura, ed il decisore opera congiuntamente su entrambi i rami, per ottenere la stima del gruppo di log₂L bit associati ad una delle possibili fasi $\varphi_{k}^{}$.

       

Demodulatore L-PSK

La decisione avviene calcolando $\widetilde{\varphi }_{k}^{}$ = arctan${\frac{\sin \widetilde{\varphi }_{k}}{\cos \widetilde{\varphi }_{k}}}$ e stabilendo all'interno di quale regione di decisione cada la fase ricevuta $\widetilde{\varphi }_{k}^{}$. All'aumentare del numero di livelli L, la potenza di rumore (che concorre alla probabilità di errore) diminuisce con la stessa legge di riduzione della banda, ovvero con il log₂L. Al contrario, la spaziatura tra le regioni di decisione diminuisce con legge lineare rispetto ad L; pertanto, l'aumento del numero di livelli produce un peggioramento della P_e. Senza approfondire i relativi conti, forniamo direttamente il risultato (con $\gamma$ = 0) della probabilità di errore sul simbolo,

P_{eL - PSK} = erfc$$\left\{\vphantom{ \sin \left( \frac{\pi }{L}\right) \sqrt{\frac{E_{b}}{N_{0}}\log _{2}L}}\right.$$sin$$\left(\vphantom{ \frac{\pi }{L}}\right.$$$${\frac{\pi }{L}}$$ $$\left.\vphantom{ \frac{\pi }{L}}\right)$$$$\sqrt{\frac{E_{b}}{N_{0}}\log _{2}L}$$ $$\left.\vphantom{ \sin \left( \frac{\pi }{L}\right) \sqrt{\frac{E_{b}}{N_{0}}\log _{2}L}}\right\}$$

che rappresenta la probabilità di decidere di aver ricevuto un $\widehat{\varphi }_{k}^{}$ $\neq$ $\varphi_{k}^{}$ (diverso da quello trasmesso) e che, se P_e $\ll$ 1, è approssimata con la probabilità di invadere (a causa del rumore) una regione di decisione contigua.

Confrontando il risultato con quello per l'ASK, osserviamo che l'assenza del termine $\left(\vphantom{ 1-\frac{1}{L}}\right.$1 - ${\frac{1}{L}}$ $\left.\vphantom{ 1-\frac{1}{L}}\right)$ è dovuto alla ``circolarità'' della costellazione, il termine sin$\left(\vphantom{ \frac{\pi }{L}}\right.$${\frac{\pi }{L}}$ $\left.\vphantom{ \frac{\pi }{L}}\right)$ è un fattore che rappresenta il peggioramento all'aumentare di L, ed il log₂L sotto radice è il miglioramento dovuto alla riduzione di banda. Il risultato esposto è una approssimazione valida se P_e $\ll$ 1, e via via più accurata con L crescente.

In tabella è riportato il risultato del confronto, a parità di P_e, dei valori di ${\frac{E_{b}}{N_{0}}}$ necessari per L-PSK, contro quelli necessari per L-ASK: si è eseguito il rapporto tra gli argomenti degli erfc$\left\{\vphantom{ }\right.$ $\left.\vphantom{ }\right\}$, si è elevato al quadrato, ed il risultato è stato espresso in dB.

Esaminando la tabella per diversi valori di L, si trova (a parte il termine $\left(\vphantom{ 1-\frac{1}{L}}\right.$1 - ${\frac{1}{L}}$ $\left.\vphantom{ 1-\frac{1}{L}}\right)$ dell'L-ASK) il miglioramento di prestazioni in dB dell'L-PSK rispetto ad L-ASK, ovvero i dB di potenza risparmiata a parità di probabilità di errore. Il risultato (4-5 dB di miglioramento) ha portato a prediligere sempre il PSK rispetto all'ASK.

E' opportuno osservare che, qualora si desideri ottenere un valore di probabilità di errore per bit, questo è pari a

P_e$$\left(\vphantom{ bit}\right.$$bit$$\left.\vphantom{ bit}\right)$$ = $${\frac{P_{e}\left( simbolo\right) }{\log _{2}L}}$$

a patto di associare, a livelli contigui, gruppi di bit differenti in una sola posizione, come previsto dal codice di Gray (mostrato nella figura seguente), in modo che l'errore tra due livelli provochi l'errore di un solo bit nel gruppo di log₂L bit associati a ciascun livello. Le curve di probabilità di errore per bit, riportate in figura, sono calcolate in questo modo.