Algebra Vettoriale

Spazio normato

Un insieme di elementi viene detto spazio lineare (o spazio vettoriale), quando sono definite le operazioni di somma tra elementi e di moltiplicazione degli stessi per dei coefficienti, e queste operazioni danno come risultato ancora un elemento dell'insieme.

Lo spazio prodotto interno (o spazio normato) è quello spazio lineare, in cui è definito il prodotto scalare $\left(\vphantom{ \overline{x},\, \overline{y}}\right.$$\overline{x}$, $\overline{y}$ $\left.\vphantom{ \overline{x},\, \overline{y}}\right)$ tra generici vettori $\overline{x}$ ed $\overline{y}$^2.8. In tal caso, si può definire la norma $\left\Vert\vphantom{ \overline{x}}\right.$$\overline{x}$ $\left.\vphantom{ \overline{x}}\right\Vert$ di un vettore $\overline{x}$ come

$$\left\Vert\vphantom{ \overline{x}}\right.$$$$\overline{x}$$ $$\left.\vphantom{ \overline{x}}\right\Vert$$ = $$\sqrt{\left( \overline{x},\, \overline{x}\right) }$$

Due vettori si dicono ortogonali se $\left(\vphantom{ \overline{x},\, \overline{y}}\right.$$\overline{x}$, $\overline{y}$ $\left.\vphantom{ \overline{x},\, \overline{y}}\right)$ = 0.

Un generico punto $\overline{x}$ dello spazio può esprimersi come combinazione lineare di vettori $\overline{u}_{i}^{}$ di una base di rappresentazione, con coefficienti x_i:

$$\overline{x}$$ = $$\sum_{i}^{}$$x_i$$\overline{u}_{i}^{}$$

Se per i vettori della base risulta $\left(\vphantom{ \overline{u}_{i},\, \overline{u}_{j}}\right.$$\overline{u}_{i}^{}$, $\overline{u}_{j}^{}$ $\left.\vphantom{ \overline{u}_{i},\, \overline{u}_{j}}\right)$ = 0 per tutti gli i $\neq$ j, allora la base è detta ortogonale, ed i coefficienti x_i si determinano per proiezione di $\overline{x}$ lungo i vettori della base:

x_i = $$\left(\vphantom{ \overline{x},\, \overline{u}_{i}}\right.$$$$\overline{x}$$, $$\overline{u}_{i}^{}$$ $$\left.\vphantom{ \overline{x},\, \overline{u}_{i}}\right)$$

In tal caso, il prodotto scalare tra due vettori $\overline{x}$ ed $\overline{y}$ ha espressione^2.9

$$\left(\vphantom{ \overline{x},\, \overline{y}}\right.$$$$\overline{x}$$, $$\overline{y}$$ $$\left.\vphantom{ \overline{x},\, \overline{y}}\right)$$ = $$\sum_{i}^{}$$x_iy^*_i$$\left\Vert\vphantom{ \overline{u}_{i}}\right.$$$$\overline{u}_{i}^{}$$ $$\left.\vphantom{ \overline{u}_{i}}\right\Vert^{2}_{}$$

Se $\left\Vert\vphantom{ \overline{u}_{i}}\right.$$\overline{u}_{i}^{}$ $\left.\vphantom{ \overline{u}_{i}}\right\Vert^{2}_{}$ = 1, allora la base è detta ortonormale.

Spazio dei segnali periodici

I concetti ora esposti sono immediatamente applicabili all'insieme dei segnali periodici di periodo T, idealizzati come elementi di uno spazio normato, per i quali viene definito un operatore di prodotto scalare tra due segnali x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ ed y$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ come l'integrale

$$\left(\vphantom{ x\left( t\right) ,y\left( t\right) }\right.$$x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$, y$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ $$\left.\vphantom{ x\left( t\right) ,y\left( t\right) }\right)$$ = $${\frac{1}{T}}$$$$\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}$$x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$y^*$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$dt

a cui corrisponde una norma quadratica immediatamente riconoscibile come la potenza del segnale:

$$\left\Vert\vphantom{ x\left( t\right) }\right.$$x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ $$\left.\vphantom{ x\left( t\right) }\right\Vert^{2}_{}$$ = $${\frac{1}{T}}$$$$\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}$$$$\left\vert\vphantom{ x\left( t\right) }\right.$$x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ $$\left.\vphantom{ x\left( t\right) }\right\vert^{2}_{}$$dt

E' dunque immediato constatare che il sottospazio costituito dall'insieme dei segnali $\left\{\vphantom{ \hbox {e}^{j2\pi nFt}}\right.$e^j2$\pi$nFt$\left.\vphantom{ \hbox {e}^{j2\pi nFt}}\right\}$, con F = ${\frac{1}{T}}$, costituisce una base ortonormale per i segnali periodici di periodo T; in particolare si riconosce che l'espressione

X_n = $${\frac{1}{T}}$$ $$\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}$$x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ e^-j2$\pi$nFtdt

rappresenta la proiezione^2.10 del segnale lungo i vettori della base, mentre la formula di ricostruzione

x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ = $$\sum^{\infty }_{n=-\infty }$$X_n e^j2$\pi$nFt

costituisce la rappresentazione del segnale nei termini delle sue componenti ortogonali.

Ri-definizione dei coefficienti di Fourier

Moltiplicando ambo i membri della formula di ricostruzione per e^-j2$\pi$mFt, ed eseguendo l'integrale tra due istanti t₁ e t₂ presi a distanza di un multiplo intero di periodi (ossia t₂ - t₁ = kT), si ottiene

$$\int^{t_{2}}_{t_{1}}$$x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ e-j2$\pi$mFtdt	=	$$\int^{t_{2}}_{t_{1}}$$$$\left(\vphantom{ \sum ^{\infty }_{n=-\infty }X_{n}\, \hbox {e}^{j2\pi nFt}}\right.$$$$\sum^{\infty }_{n=-\infty }$$Xn ej2$\pi$nFt$$\left.\vphantom{ \sum ^{\infty }_{n=-\infty }X_{n}\, \hbox {e}^{j2\pi nFt}}\right)$$e- .j2$\pi$mFtdt =
	=	$$\sum^{\infty }_{n=-\infty }$$Xn $$\int^{t_{2}}_{t_{1}}$$e.j2$\pi$$\left(\vphantom{ n-m}\right.$n - m$\left.\vphantom{ n-m}\right)$Ftdt = $$\left(\vphantom{ t_{2}-t_{1}}\right.$$t2 - t1$$\left.\vphantom{ t_{2}-t_{1}}\right)$$ . Xm

in quanto per n $\neq$ m la funzione integranda ha valor medio nullo, dato che nell'intervallo $\left(\vphantom{ t_{1},t_{2}}\right.$t₁, t₂$\left.\vphantom{ t_{1},t_{2}}\right)$ (dovunque collocato dell'asse dei tempi) presenta un numero intero di periodi. Pertanto, il calcolo dei coefficienti può ottenersi a partire da un qualunque intervallo esteso su un numero intero di periodi:

X_n = $${\frac{1}{t_{2}-t_{1}}}$$$$\int^{t_{2}}_{t_{1}}$$x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ e^{- .j2$\pi$nFt}dt

Disuguaglianza di Schwartz

Consiste nel risultato

$$\left\vert\vphantom{ \int ^{\infty }_{-\infty }x\left( t\right) y\left( t\right) dt}\right.$$$$\int^{\infty }_{-\infty }$$x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$y$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$dt$$\left.\vphantom{ \int ^{\infty }_{-\infty }x\left( t\right) y\left( t\right) dt}\right\vert^{2}_{}$$ $$\leq$$ $$\int^{\infty }_{-\infty }$$$$\left\vert\vphantom{ x\left( t\right) }\right.$$x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ $$\left.\vphantom{ x\left( t\right) }\right\vert^{2}_{}$$dt ^. $$\int^{\infty }_{-\infty }$$$$\left\vert\vphantom{ y\left( t\right) }\right.$$y$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ $$\left.\vphantom{ y\left( t\right) }\right\vert^{2}_{}$$dt

che a volte può tornare utile nei calcoli che coinvolgono segnali di energia, e la cui dimostrazione si basa sull'identificare l'insieme di tali segnali come uno spazio normato, dotato di un operatore di prodotto scalare definito come

$$\left(\vphantom{ x\left( t\right) ,z\left( t\right) }\right.$$x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$, z$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ $$\left.\vphantom{ x\left( t\right) ,z\left( t\right) }\right)$$ = $$\int^{\infty }_{-\infty }$$x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$z^*$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$dt

Con tali posizioni, il risultato mostrato deriva da quello valido per un qualunque spazio vettoriale, che fa uso della diseguaglianza $\left\vert\vphantom{ \cos \theta }\right.$cos$\theta$ $\left.\vphantom{ \cos \theta }\right\vert$ $\leq$ 1, e che mostra che

$$\left(\vphantom{ \overline{x},\, \overline{z}}\right.$$$$\overline{x}$$, $$\overline{z}$$ $$\left.\vphantom{ \overline{x},\, \overline{z}}\right)^{2}_{}$$ = $$\left(\vphantom{ \left\vert x\right\vert \cdot \left\vert z\right\vert \cdot \cos \theta }\right.$$$$\left\vert\vphantom{ x}\right.$$x$$\left.\vphantom{ x}\right\vert$$ ^. $$\left\vert\vphantom{ z}\right.$$z$$\left.\vphantom{ z}\right\vert$$ ^. cos$$\theta$$ $$\left.\vphantom{ \left\vert x\right\vert \cdot \left\vert z\right\vert \cdot \cos \theta }\right)^{2}_{}$$ $$\leq$$ $$\left\vert\vphantom{ x}\right.$$x$$\left.\vphantom{ x}\right\vert^{2}_{}$$ ^. $$\left\vert\vphantom{ z}\right.$$z$$\left.\vphantom{ z}\right\vert^{2}_{}$$

Applicando quindi la definizione di prodotto scalare ai due segnali x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ e y$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = z^*$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ si ottiene il risultato espresso dalla diseguaglianza di Schwatrz, per la quale vale il segno di uguale se e solo se x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = Kz^*$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, con K costante reale.