Definizione

La trasformata di Fourier è quindi utile a rappresentare quei segnali per i quali non sussiste una struttura periodica, e costituisce un operatore funzionale che, applicato ad un segnale definito nel dominio del tempo, ne individua un altro nel dominio della variabile continua frequenza (a differenza della serie discreta di Fourier, idonea al caso in cui siano presenti solo armoniche della fondamentale). L'operazione di trasformazione è a volte indicata con la simbologia X$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ = $\mathcal {F}$$\left\{\vphantom{ x\left( t\right) }\right.$x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ $\left.\vphantom{ x\left( t\right) }\right\}$, ed il segnale trasformato si indica con la stessa variabile di quello nel tempo, resa maiuscola. La sua definizione formale dal punto di vista analitico è:

X$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ = $$\int^{\infty }_{-\infty }$$x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$e^-j2$\pi$ftdt

la cui esistenza è garantita per segnali x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ impulsivi (ovvero per i quali $\int^{\infty }_{-\infty }$$\left\vert\vphantom{ x\left( t\right) }\right.$x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ $\left.\vphantom{ x\left( t\right) }\right\vert$dt < $\infty$, cioè assolutamente sommabili). Un segnale impulsivo è anche di energia, mentre non è sempre vero il viceversa. Spesso però, X$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ esiste anche per segnali di energia; vedremo inoltre che può essere definita (grazie ad operazioni di passaggio al limite) anche per segnali di potenza periodici.

L'antitrasformata di Fourier $\mathcal {F}$^-1$\left\{\vphantom{ }\right.$ $\left.\vphantom{ }\right\}$ è l'operatore analitico che svolge l'associazione inversa a $\mathcal {F}$$\left\{\vphantom{ }\right.$ $\left.\vphantom{ }\right\}$, e che consente di ottenere, a partire da un segnale definito nel dominio della frequenza, quel segnale nel dominio del tempo la cui trasformata è il primo segnale. L'operazione di antitrasformazione è definita come

x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ = $$\int^{\infty }_{-\infty }$$X$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$e^j2$\pi$ftdt

e vale ovunque x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ sia continuo, mentre nelle discontinuità di prima specie fornisce il valor medio di x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$. Il risultato della trasformata X$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ = M$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$exp^{j$\varphi$$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$} è anche detto spettro di ampiezza complessa, mentre M$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ ed $\varphi$$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ sono detti spettri di modulo e fase.

La formula di ricostruzione, se messa a confronto con la serie di Fourier, può essere pensata come una somma integrale di infinite componenti X$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$df di ampiezza (complessa) infinitesima, evidenziando come ora siano presenti tutte le frequenze e non solo le armoniche. Una seconda analogia con la serie di Fourier deriva dal considerare un segnale x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ di durata limitata T, e calcolare X$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ = $\mathcal {F}$$\left\{\vphantom{ x\left( t\right) }\right.$x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ $\left.\vphantom{ x\left( t\right) }\right\}$ per f = ${\frac{n}{T}}$ = nF. In tal caso, è facile verificare che risulta X$\left(\vphantom{ nF}\right.$nF$\left.\vphantom{ nF}\right)$ = T ^. X_n con X_n pari all'n-esimo coefficente di Fourier calcolato per x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ su quello stesso periodo.

Prima di procedere con le proprietà e le caratteristiche di questa trasformata, svolgiamo un semplice esercizio.

Trasformata di un rettangolo

Disponendo del segnale x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = A rect_$\tau$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, se ne vuol calcolare lo spettro di ampiezza X$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$. Svolgendo il calcoli si ottiene:

X$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$	=	$$\int^{\infty }_{-\infty }$$A rect$\tau$$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$e-j2$\pi$ftdt = A $$\int^{\frac{\tau }{2}}_{-\frac{\tau }{2}}$$e-j2$\pi$ftdt =
	=	A $$\left.\vphantom{ \frac{\hbox {e}^{-j2\pi ft}}{-j2\pi f}}\right.$$$${\frac{\hbox {e}^{-j2\pi ft}}{-j2\pi f}}$$ $$\left.\vphantom{ \frac{\hbox {e}^{-j2\pi ft}}{-j2\pi f}}\right\vert^{\frac{\tau }{2}}_{-\frac{\tau }{2}}$$ = $${\frac{A}{\pi f}}$$$${\frac{\hbox {e}^{j2\pi f\frac{\tau }{2}}-\hbox {e}^{-j2\pi f\frac{\tau }{2}}}{2j}}$$ =
	=	A$$\tau$$$${\frac{\sin \left( \pi f\tau \right) }{\pi f\tau }}$$ = A$$\tau$$ . sinc$$\left(\vphantom{ f\tau }\right.$$f$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ f\tau }\right)$$

Questo risultato, graficato in fig 3.1

Figura: $\mathcal {F}$-trasformata di un rettangolo di base $\tau$ = 2 ed ampiezza A = 1

  

, ricorda quello già incontrato per la serie di Fourier dell'onda quadra. Il noto andamento ${\frac{\sin x}{x}}$ rappresenta ora la distribuzione continua in frequenza dello spettro di ampiezza, ed il primo zero della curva si trova presso f = ${\frac{1}{\tau }}$, in modo del tutto simile al treno di impulsi rettangolari di base $\tau$. Notiamo esplicitamente inoltre che, aumentando la durata del rect, lo spettro si restringe, addensandosi nella regione delle frequenze più basse; mentre al contrario, qualora il rect sia più breve, X$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ si estende a regioni di frequenza più elevata.