Densità di Energia

Similmente al caso dei segnali periodici, viene ora stabilita una relazione tra l'energia di un segnale, e la distribuzione della stessa nel dominio della frequenza. In base alle considerazioni geometriche esposte in § 2.4.1, definiamo come prodotto scalare tra i segnali di energia x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ e y$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ (detto anche energia incrociata) il valore

$$\mathcal {E}$$_xy = $$\left(\vphantom{ \overline{x},\, \overline{y}}\right.$$$$\overline{x}$$, $$\overline{y}$$ $$\left.\vphantom{ \overline{x},\, \overline{y}}\right)$$ = $$\int^{\infty }_{-\infty }$$x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$y^*$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$dt

che, nel caso in cui x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = y$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, coincide con l'energia $\mathcal {E}$_x di x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$. Se entrambi x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ e y$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ possiedono trasformata di Fourier possiamo scrivere:

$$\mathcal {E}$$xy	=	$$\int$$ y*$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ $$\left[\vphantom{ \int \, X\left( f\right) \, \hbox {e}^{j2\pi ft}df}\right.$$$$\int$$ X$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ ej2$\pi$ftdf$$\left.\vphantom{ \int \, X\left( f\right) \, \hbox {e}^{j2\pi ft}df}\right]$$ dt = $$\int$$ X$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ $$\left[\vphantom{ \int \, y^{*}\left( t\right) \, \hbox {e}^{j2\pi ft}dt}\right.$$$$\int$$ y*$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ ej2$\pi$ftdt$$\left.\vphantom{ \int \, y^{*}\left( t\right) \, \hbox {e}^{j2\pi ft}dt}\right]$$ df
	=	$$\int^{\infty }_{-\infty }$$X$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ Y*$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ df

Il risultato

$$\int^{\infty }_{-\infty }$$x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$y^*$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$dt = $$\int^{\infty }_{-\infty }$$X$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$Y^*$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$df

costituisce il teorema di Parseval per segnali di energia, ed implica che le trasformate di segnali ortogonali, sono anch'esse ortogonali. Ponendo ora x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = y$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, si ottiene:

$$\mathcal {E}$$_x = $$\left(\vphantom{ \overline{x},\, \overline{x}}\right.$$$$\overline{x}$$, $$\overline{x}$$ $$\left.\vphantom{ \overline{x},\, \overline{x}}\right)$$ = $$\left\Vert\vphantom{ x}\right.$$x$$\left.\vphantom{ x}\right\Vert^{2}_{}$$ = $$\int^{\infty }_{-\infty }$$$$\left\vert\vphantom{ x\left( t\right) }\right.$$x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ $$\left.\vphantom{ x\left( t\right) }\right\vert^{2}_{}$$dt = $$\int^{\infty }_{-\infty }$$$$\left\vert\vphantom{ X\left( f\right) }\right.$$X$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ $$\left.\vphantom{ X\left( f\right) }\right\vert^{2}_{}$$df

Esaminando quest'ultima espressione, possiamo indicare

$$\mathcal {E}$$_x$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ = $$\left\vert\vphantom{ X\left( f\right) }\right.$$X$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ $$\left.\vphantom{ X\left( f\right) }\right\vert^{2}_{}$$

come lo spettro di densità di energia di x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$. Infatti, l'integrale $\int^{f_{2}}_{f_{1}}$$\left\vert\vphantom{ X\left( f\right) }\right.$X$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ $\left.\vphantom{ X\left( f\right) }\right\vert^{2}_{}$df rappresenta il contributo all'energia totale $\mathcal {E}$_x di x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, limitatamente alla banda di frequenze comprese tra f₁ ed f₂.