Alice
nel Paese della Matematica
ovvero Viaggio nel mondo dei sistemi di
numerazione posizionali
Magie binarie: indovina il numero!
Leibniz: "Puoi indovinare un numero pensato da un altro semplicemente presentandogli una serie di colonne e facendosi dire in quali compare il numero prescelto. Se consideriamo i numeri da 1 a 15, la tabella da considerare è la seguente:
| A | B | C | D |
| 8 | 4 | 2 | 1 |
| 9 | 5 | 3 | 3 |
| 10 | 6 | 6 | 5 |
| 11 | 7 | 7 | 7 |
| 12 | 12 | 10 | 9 |
| 13 | 13 | 11 | 11 |
| 14 | 14 | 14 | 13 |
| 15 | 15 | 15 | 15 |
Osserva attentamente i numeri in testa alle colonne; ti fanno venire in mente qualcosa che abbiamo già visto? (Pensa alla scacchiera... o ai bicchieri!)
|
Ed ora ti svelerò il trucco per dare la risposta giusta: |
|
se il numero pensato compare nelle colonne A, B e D, per trovarlo basta sommare i numeri in testa ad ogni colonna!
(Nel nostro caso 8 + 4 +1 = 13)
Come si può spiegare? La risposta sta nel modo in cui è stata costruita la tabella : nelle colonne A, B, C e D sono stati messi rispettivamente i numeri che, convertiti nella forma binaria, hanno un 1 nel quarto, terzo, secondo e primo posto a partire da destra. Vediamo in dettaglio, cioè riscriviamo la tabella sostituendo ai numeri decimali la loro conversione in base 2:
| A | B | C | D |
| 1000 | 100 | 10 | 1 |
| 1001 | 101 | 11 | 11 |
| 1010 | 110 | 110 | 101 |
| 1011 | 111 | 111 | 111 |
| 1100 | 1100 | 1010 | 1001 |
| 1101 | 1101 | 1011 | 1011 |
| 1110 | 1110 | 1110 | 1101 |
| 1111 | 1111 | 1111 | 1111 |
Così, ad esempio, 10 in base 10 = 1010 in base 2 è stato scritto nelle colonne A e C, mentre il numero 15 in base 10 = 1111 in base 2 , essendo formato da tutti 1, compare in tutte le colonne. Per ricomporre il numero da indovinare si procede inversamente: si ricava la forma binaria del numero cercato sostituendo ad ogni colonna citata la cifra 1 e ad ogni colonna non citata la cifra 0, poi si esegue le conversione; il che equivale, in pratica, a sommare i numeri più piccoli di ogni colonna. Per facilitare il gioco, è bene che questi ultimi siano posti in testa alle rispettive colonne.
|
|
Facciamo un esempio concreto: tu pensi al numero 8. Esso compare solo nella colonna A, per cui l’unico numero da considerare è proprio l’8. Se tu avessi pensato al numero 11, poiché esso compare nelle colonne A, C e D, avresti dovuto sommare tra loro i numeri che compaiono in testa a queste colonne e cioè: 8+2+1 = 11. Che te ne sembra, Alice? Vuoi indovinare tu il numero che ho pensato? |
