Alice nel Paese della Matematica
ovvero Viaggio nel mondo dei sistemi di numerazione posizionali

Operazioni in base... X

Leibniz: "Ora che hai preso un po’ confidenza con queste "nuove" basi, puoi anche sperimentare le operazioni in esse. Cominciamo dalla più facile : l’addizione ! Per aiutarti a capire i risultati che ti possono sembrare "strani", sappi che il meccanismo di calcolo è lo stesso dell’addizione in base 10, soltanto che hai meno cifre a disposizione ! Facciamo un esempio: nella tabella di addizione in base 8 c’è scritto che 7 + 7 fa 16 ... sembrerebbe "sbagliato" se tu ragionassi in base 10, ma prova ad effettuare la conversione del risultato decimale (14) in base 8 e vedrai se ho ragione!

(14:8 = 1 con resto 6; oppure puoi pensare di suddividere quattordici unità in gruppi di 8... cosa ottieni? 1 gruppo da 8 e restano escluse 6 unità).

Alice: "Sai, questo modo di contare mi incuriosisce davvero! Mi viene voglia di provare anche con le moltiplicazioni. Chissà che cosa succede?"

Leibniz: "Se hai capito come funzionano, prova a completare questa stravagante tabellina del 4 che tu stessa conosci già: cinque per quattro fa dodici, sei per quattro fa tredici..."

Alice :"Sette per quattro fa quattordici. Povera me! In questo modo a venti non ci arriverò mai!"

(Sapete dire perché?)

Se si continua la tabellina si ha che: 8x4 = 15, 9x4 = 16, 10x4 = 17 ecc...

Se si osservano i fattori e i prodotti risultanti si ricava che la prima moltiplicazione (5x4 = 12) è scritta in base 18; (infatti 5x4 = 20 in base 10 e 20 convertito in base 18 diventa proprio 12, poiché il 18 è contenuto nel 20 una volta con il resto di 2) mentre la seconda è scritta in base 21 (infatti 6x4 = 24 in base 10 e 24 convertito in base 21 diventa proprio 13, poiché il 21 è contenuto nel 24 una volta con il resto di 3) e la terza in base 24 e così via. Aumentando progressivamente la base in cui sono svolte le moltiplicazioni, aumentano via via le cifre utilizzabili ( terminate quelle decimali si utilizzano le lettere dell’alfabeto per cui si arriva agevolmente a base 31 !) e quindi non si riuscirà mai a "saltare" a 20, poiché la nuova base non sarà mai contenuta esattamente 2 volte nel prodotto risultante.

"Povera me! Quante stranezze oggi! Pensare che ieri era tutto come al solito. Fossi cambiata io durante la notte ? Fammi pensare; ero la stessa stamattina quando mi sono alzata? Quasi quasi mi sembra di essermi sentita un po’ diversa. Ma se non sono la stessa, la domanda è: "Chi mai sarò?" Ah, eccolo il grande punto interrogativo!". E si mise a passare mentalmente in rassegna tutte le bambine della sua età che conosceva, per vedere se per caso non si fosse tramutata in una di loro. "Di certo non sono Ada", disse Alice, "lei è tutta boccoli, e io non ne ho affatto; e non sono di certo Mabel, perché io so un sacco di cose e lei ne sa tanto poche! E poi, lei è lei, e io sono io, e... povera me, che rompicapo! Proviamo un po’ se so ancora tutte le cose che sapevo. Vediamo: cinque per quattro fa dodici, e sei per quattro fa tredici, e sette per quattro fa... povera me! In questo modo a venti non ci arriverò mai! Va bene, la Tavola Pitagorica non fa testo; proviamo la Geografia. Londra è la capitale di Parigi e Parigi è la capitale di Roma ... no, è tutto sbagliato, ne sono sicura!".