Gaussiana

Una variabile aleatoria gaussiana x è descritta da una densità di probabilità di espressione

p_X(x) = $${\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma _{x}}}$$exp$$\left\{\vphantom{ -\frac{\left( x-m_{x}\right) ^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}\right.$$ - $${\frac{\left( x-m_{x}\right) ^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}$$ $$\left.\vphantom{ -\frac{\left( x-m_{x}\right) ^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}\right\}$$

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il cui andamento è mostrato in figura, dove è posto in evidenza come m_x e $\sigma_{x}^{}$ (media e deviazione standard) siano in relazione la prima con la centratura orizzontale, e la seconda con la dispersione della curva attorno alla media. Oltre che da un punto di vista grafico, i primi due momenti della v.a. descrivono completamente la densità anche dal punto di vista analitico; pertanto, la stima di questi (ad esempio a partire da un buon numero di realizzazioni^5.27) è sufficiente per descrivere completamente il fenomeno aleatorio.

La v.a. gaussiana descrive bene una moltitudine di fenomeni naturali, ed è dimostrabile analiticamente che la sua densità è caratteristica di grandezze generate dalla somma di un numero molto elevato di cause aleatorie, tutte con la medesima DDP^5.28 (teorema del limite centrale).

La funzione di distribuzione di questa v.a. non è calcolabile in forma chiusa; fortunatamente però, stante la necessità di conoscere la probabilità di eventi gaussiani, sono disponibili tabelle e grafici, che riportano il valore numerico dell'integrale che definisce tali valori di probabilità.

0.300000

Per renderci conto della situazione, proviamo a calcolare la probabilità che X non superi un certo valore x, pari per definizione alla funzione di distribuzione, e rappresentata dall'area tratteggiata in figura (per semplicità ci riferiamo ad una gaussiana a media nulla):

F_X$\left(\vphantom{ x}\right.$x$\left.\vphantom{ x}\right)$ = Pr$\left\{\vphantom{ X\leq x}\right.$X $\leq$ x$\left.\vphantom{ X\leq x}\right\}$ = $\int_{-\infty }^{x}$p_X$\left(\vphantom{ \theta }\right.$$\theta$ $\left.\vphantom{ \theta }\right)$d$\theta$ = 1 - $\int_{x}^{\infty }$${\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma _{x}}}$e^{- ${\frac{\theta ^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}$}d$\theta$. Effettuiamo ora un cambio di variabile, ponendo ${\frac{\theta ^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}$ = $\eta^{2}_{}$, per cui in corrispondenza di $\theta$ = x si ha $\eta$ = ${\frac{x}{\sqrt{2}\sigma _{x}}}$, e risulta d$\theta$ = $\sqrt{2}$$\sigma_{x}^{}$d$\eta$. Con queste posizioni, possiamo riscrivere

F_X$$\left(\vphantom{ x}\right.$$x$$\left.\vphantom{ x}\right)$$ = 1 - $$\int_{\frac{x}{\sqrt{2}\sigma _{x}}}^{\infty }$$$${\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma _{x}}}$$e^{- $\eta^{2}$}$$\sqrt{2}$$$$\sigma_{x}^{}$$d$$\eta$$ = 1 - $$\int_{\frac{x}{\sqrt{2}\sigma _{x}}}^{\infty }$$$${\frac{1}{\sqrt{\pi }}}$$e^{- $\eta^{2}$}d$$\eta$$ = 1 - $${\textstyle\frac{1}{2}}$$erfc$$\left\{\vphantom{ \frac{x}{\sqrt{2}\sigma _{x}}}\right.$$$${\frac{x}{\sqrt{2}\sigma _{x}}}$$ $$\left.\vphantom{ \frac{x}{\sqrt{2}\sigma _{x}}}\right\}$$

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Cosa è successo ? Semplicemente, abbiamo espresso l'integrale (irrisolvibile in forma chiusa) nei termini della ``funzione'' erfc$\left\{\vphantom{ .}\right.$.$\left.\vphantom{ .}\right\}$, che rappresenta la probabilità che una v.a. gaussiana a media nulla e varianza ${\frac{1}{2}}$ superi (in valore assoluto) il valore dato come argomento, come mostrato in figura, e pari a

erfc$$\left\{\vphantom{ \alpha }\right.$$$$\alpha$$ $$\left.\vphantom{ \alpha }\right\}$$ = 2$${\frac{1}{\sqrt{\pi }}}$$$$\int_{\alpha }^{\infty }$$e^-x2dx

I valori di erfc in funzione del suo argomento sono reperibili sia in forma di tabelle numeriche, che in forma di diagrammi quotati^5.29.

In linea generale quindi, volendo calcolare la probabilità che una v.a. gaussiana X, con media m_x e varianza $\sigma^{2}_{x}$, superi in ampiezza un determinato valore $\alpha$, l'unica strada percorribile è quella di utilizzare la funzione erfc, avendo cura di porre come argomento il valore di $\alpha$ debitamente scalato, per ricondursi ad una gaussiana a media nulla e varianza ${\frac{1}{2}}$:

Pr$$\left\{\vphantom{ X>\alpha }\right.$$X > $$\alpha$$ $$\left.\vphantom{ X>\alpha }\right\}$$ = $${\textstyle\frac{1}{2}}$$erfc$$\left\{\vphantom{ \frac{\alpha -m_{X}}{\sqrt{2}\sigma _{x}}}\right.$$$${\frac{\alpha -m_{X}}{\sqrt{2}\sigma _{x}}}$$ $$\left.\vphantom{ \frac{\alpha -m_{X}}{\sqrt{2}\sigma _{x}}}\right\}$$