Teorema di Wiener

Lo spettro di densità di potenza $\mathcal {P}$_x$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ (o di energia $\mathcal {E}$_x$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$) di x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ è uguale alla trasformata di Fourier della sua funzione di autocorrelazione $\mathcal {F}$$\left\{\vphantom{ \mathcal{R}_{x}\left( \tau \right) }\right.$$\mathcal {R}$_x$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$ $\left.\vphantom{ \mathcal{R}_{x}\left( \tau \right) }\right\}$.

La dimostrazione del teorema è straordinariamente semplice, e per segnali di energia si scrive

$$\mathcal {R} \left(\vphantom{ \tau }\right. \tau \left.\vphantom{ \tau }\right) \int_{-\infty }^{\infty } \left(\vphantom{ t}\right. \left.\vphantom{ t}\right) \left(\vphantom{ t+\tau }\right. \tau \left.\vphantom{ t+\tau }\right) \int_{-\infty }^{\infty } \left(\vphantom{ f}\right. \left.\vphantom{ f}\right) \left(\vphantom{ f}\right. \left.\vphantom{ f}\right) \pi \tau$$ =

$$\mathcal {F} \left\{\vphantom{ X^{*}\left( f\right) X\left( f\right) }\right. \left(\vphantom{ f}\right. \left.\vphantom{ f}\right) \left(\vphantom{ f}\right. \left.\vphantom{ f}\right) \left.\vphantom{ X^{*}\left( f\right) X\left( f\right) }\right\} \mathcal {F} \left\{\vphantom{ \mathcal{E}_{x}\left( f\right) }\right. \mathcal {E} \left(\vphantom{ f}\right. \left.\vphantom{ f}\right) \left.\vphantom{ \mathcal{E}_{x}\left( f\right) }\right\}$$ =

in cui abbiamo prima applicato il teorema di Parseval, poi la proprietà di traslazione nel tempo, e quindi espresso X^*$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$X$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ come $\mathcal {E}$_x$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$.

0.400000

 

 

Per segnali di potenza la dimostrazione è del tutto simile, e valida anche per realizzazioni di processi. In particolare, se il processo è ergodico, la media di insieme m_X1X2^{$\left(\vphantom{ 1,1}\right.$1, 1$\left.\vphantom{ 1,1}\right)$} risulta uguale alla media temporale calcolata per ogni realizzazione del processo, e pertanto lo spettro di densità di potenza di un processo si ottiene trasformando la funzione di autocorrelazione calcolata come media di insieme, oppure trasformando quella calcolata come media temporale per una delle sue realizzazioni.

Pertanto, grazie al Teorema di Wiener, è possibile ottenere $\mathcal {P}$_x$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ anche per processi, oppure fare ``la prova del nove'' per segnali di energia o periodici.