Segnali di energia

Sappiamo che per il teorema di Parseval risulta $\mathcal {E}$_y$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ = Y$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$Y^*$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$; dato che Y$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ = X$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$H$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$, allora

$$\mathcal {E}$$_y$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ = X$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$H$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$X^*$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$H^*$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ = $$\left\vert\vphantom{ X\left( f\right) }\right.$$X$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ $$\left.\vphantom{ X\left( f\right) }\right\vert^{2}_{}$$$$\left\vert\vphantom{ H\left( f\right) }\right.$$H$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ $$\left.\vphantom{ H\left( f\right) }\right\vert^{2}_{}$$ = $$\mathcal {E}$$_x$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$$$\left\vert\vphantom{ H\left( f\right) }\right.$$H$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ $$\left.\vphantom{ H\left( f\right) }\right\vert^{2}_{}$$

A questo punto, eseguendo l'antitrasformata di Fourier di ambo i membri, si ottiene:

$$\mathcal {R}$$_y$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$ = $$\mathcal {F}$$^-1$$\left\{\vphantom{ \mathcal{E}_{y}\left( f\right) }\right.$$$$\mathcal {E}$$_y$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ $$\left.\vphantom{ \mathcal{E}_{y}\left( f\right) }\right\}$$ = $$\mathcal {F}$$^-1$$\left\{\vphantom{ \mathcal{E}_{x}\left( f\right) \left\vert H\left( f\right) \right\vert ^{2}}\right.$$$$\mathcal {E}$$_x$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$$$\left\vert\vphantom{ H\left( f\right) }\right.$$H$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ $$\left.\vphantom{ H\left( f\right) }\right\vert^{2}_{}$$ $$\left.\vphantom{ \mathcal{E}_{x}\left( f\right) \left\vert H\left( f\right) \right\vert ^{2}}\right\}$$ = $$\mathcal {R}$$_x$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$*$$\mathcal {R}$$_H$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$

Il risultato ottenuto è posto in evidenza perché è valido anche per i due casi successivi di segnale periodico e di processo, e mostra come l'autocorrelazione dell'uscita di un filtro è pari alla convoluzione tra l'autocorrelazione dell'ingresso e quella della risposta impulsiva.

A corollario di quanto esposto, sussistono i seguenti integrali^7.14, equivalenti ai fini del calcolo dell'energia totale:

$$\mathcal {E} \int_{-\infty }^{\infty } \mathcal {E} \left(\vphantom{ f}\right. \left.\vphantom{ f}\right) \int_{-\infty }^{\infty } \mathcal {E} \left(\vphantom{ f}\right. \left.\vphantom{ f}\right) \left\vert\vphantom{ H\left( f\right) }\right. \left(\vphantom{ f}\right. \left.\vphantom{ f}\right) \left.\vphantom{ H\left( f\right) }\right\vert^{2}_{} \int_{-\infty }^{\infty } \mathcal {R} \left(\vphantom{ \tau }\right. \tau \left.\vphantom{ \tau }\right) \mathcal {R} \left(\vphantom{ \tau }\right. \tau \left.\vphantom{ \tau }\right) \tau$$ =

$$\int_{-\infty }^{\infty } \mathcal {R} \left(\vphantom{ \tau }\right. \tau \left.\vphantom{ \tau }\right) \mathcal {R} \left(\vphantom{ \tau }\right. \tau \left.\vphantom{ \tau }\right) \tau \mathcal {R} \left(\vphantom{ 0}\right. \left.\vphantom{ 0}\right)$$ =

Pertanto è possibile utilizzare tutte queste come relazioni di equivalenza, quando si ha necessità di determinare una grandezza a partire da altre note.