Prodotto

Nel caso in cui un fattore sia un processo, e l'altro un segnale certo, il risultato (in generale) è un processo non stazionario. Infatti ora le medie d'insieme dipendono, istante per istante, dal valore che il segnale certo assume in quell'istante (tranne il caso in cui sia una costante)^7.17.

Se uno dei due fattori (ad es y$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$) è una costante, z$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ è un processo della stessa natura di x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, con media m_z = m_x ^. y, potenza $\mathcal {P}$_z = $\mathcal {P}$_x ^. y², e autocorrelazione $\mathcal {R}$_z$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$ = $\mathcal {R}$_x$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$ ^. y².

Se i fattori x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ ed y$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ sono processi statisticamente indipendenti, stazionari e congiuntamente^7.18 ergodici, si ottiene:

Valor medio

 

        

mz	=	E$\left\{\vphantom{ z\left( t\right) }\right.$z$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ $\left.\vphantom{ z\left( t\right) }\right\}$ = E$\left\{\vphantom{ x\left( t\right) y\left( t\right) }\right.$x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$y$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ $\left.\vphantom{ x\left( t\right) y\left( t\right) }\right\}$ = E$\left\{\vphantom{ x\left( t\right) }\right.$x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ $\left.\vphantom{ x\left( t\right) }\right\}$E$\left\{\vphantom{ y\left( t\right) }\right.$y$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ $\left.\vphantom{ y\left( t\right) }\right\}$ =
	=	mx . my

 

Potenza totale

 

        

$\mathcal {P}$z	=	E$\left\{\vphantom{ z^{2}\left( t\right) }\right.$z2$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ $\left.\vphantom{ z^{2}\left( t\right) }\right\}$ = E$\left\{\vphantom{ x^{2}\left( t\right) y^{2}\left( t\right) }\right.$x2$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$y2$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ $\left.\vphantom{ x^{2}\left( t\right) y^{2}\left( t\right) }\right\}$ = E$\left\{\vphantom{ x^{2}\left( t\right) }\right.$x2$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ $\left.\vphantom{ x^{2}\left( t\right) }\right\}$E$\left\{\vphantom{ y^{2}\left( t\right) }\right.$y2$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ $\left.\vphantom{ y^{2}\left( t\right) }\right\}$
	=	$\mathcal {P}$x . $\mathcal {P}$y

 

Varianza

 

        

$\sigma_{z}^{2}$	=	E$\left\{\vphantom{ \left( z\left( t\right) -m_{z}\right) ^{2}}\right.$$\left(\vphantom{ z\left( t\right) -m_{z}}\right.$z$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ - mz$\left.\vphantom{ z\left( t\right) -m_{z}}\right)^{2}_{}$ $\left.\vphantom{ \left( z\left( t\right) -m_{z}\right) ^{2}}\right\}$ = $\mathcal {P}$z - $\left(\vphantom{ m_{z}}\right.$mz$\left.\vphantom{ m_{z}}\right)^{2}_{}$ =
	=	$\mathcal {P}$x . $\mathcal {P}$y - $\left(\vphantom{ m_{x}\cdot m_{y}}\right.$mx . my$\left.\vphantom{ m_{x}\cdot m_{y}}\right)^{2}_{}$

 

Funzione di autocorrelazione

 

        

$\mathcal {R}$z$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$	=	E$\left\{\vphantom{ z\left( t\right) z\left( t+\tau \right) }\right.$z$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$z$\left(\vphantom{ t+\tau }\right.$t + $\tau$ $\left.\vphantom{ t+\tau }\right)$ $\left.\vphantom{ z\left( t\right) z\left( t+\tau \right) }\right\}$ = E$\left\{\vphantom{ x\left( t\right) y\left( t\right) x\left( t+\tau \right) y\left( t+\tau \right) }\right.$x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$y$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$x$\left(\vphantom{ t+\tau }\right.$t + $\tau$ $\left.\vphantom{ t+\tau }\right)$y$\left(\vphantom{ t+\tau }\right.$t + $\tau$ $\left.\vphantom{ t+\tau }\right)$ $\left.\vphantom{ x\left( t\right) y\left( t\right) x\left( t+\tau \right) y\left( t+\tau \right) }\right\}$ =
	=	E$\left\{\vphantom{ x\left( t\right) x\left( t+\tau \right) }\right.$x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$x$\left(\vphantom{ t+\tau }\right.$t + $\tau$ $\left.\vphantom{ t+\tau }\right)$ $\left.\vphantom{ x\left( t\right) x\left( t+\tau \right) }\right\}$E$\left\{\vphantom{ y\left( t\right) y\left( t+\tau \right) }\right.$y$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$y$\left(\vphantom{ t+\tau }\right.$t + $\tau$ $\left.\vphantom{ t+\tau }\right)$ $\left.\vphantom{ y\left( t\right) y\left( t+\tau \right) }\right\}$ = $\mathcal {R}$x$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$ . $\mathcal {R}$y$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$

 

In particolare, notiamo che l'incorrelazione di uno dei due processi, per un certo valore di $\tau$, provoca l'incorrelazione del prodotto.

Spettro di densità di potenza

 

        

$\mathcal {P}$z$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$	=	$\mathcal {F}$$\left\{\vphantom{ \mathcal{R}_{z}\left( \tau \right) }\right.$$\mathcal {R}$z$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$ $\left.\vphantom{ \mathcal{R}_{z}\left( \tau \right) }\right\}$ = $\mathcal {F}$$\left\{\vphantom{ \mathcal{R}_{x}\left( \tau \right) \cdot \mathcal{R}_{y}\left( \tau \right) }\right.$$\mathcal {R}$x$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$ . $\mathcal {R}$y$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$ $\left.\vphantom{ \mathcal{R}_{x}\left( \tau \right) \cdot \mathcal{R}_{y}\left( \tau \right) }\right\}$ =
	=	$\mathcal {P}$x$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$*$\mathcal {P}$y$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$

 

ossia è pari alla convoluzione tra le densità spettrali dei fattori. Notiamo quindi che la densità di potenza del prodotto presenta una occupazione di banda maggiore di quella dei singoli fattori.

Densità di probabilità

Si calcola con le regole per il cambiamento di variabile, che non abbiamo trattato. Nel caso in cui i due processi siano statisticamente indipendenti, il risultato è

         p_Z$\left(\vphantom{ z}\right.$z$\left.\vphantom{ z}\right)$ = $\int_{-\infty }^{\infty }$p_X$\left(\vphantom{ \theta }\right.$$\theta$ $\left.\vphantom{ \theta }\right)$p_Y$\left(\vphantom{ \frac{z}{\theta }}\right.$${\frac{z}{\theta }}$ $\left.\vphantom{ \frac{z}{\theta }}\right)$${\frac{d\theta }{\theta }}$.

 

In Appendice (pag. ), troviamo l'applicazione di questi risultati al calcolo della densità di potenza dell'onda PAM.