Filtro digitale a risposta impulsiva infinita del 1 ^o ordine

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Lo schema riportato a fianco è un filtro di tipo ricorsivo in cui l'uscita dipende dalle precedenti uscite. La sua risposta impulsiva ha durata infinita ed è pari a

h$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ = $$\sum_{n=0}^{\infty }$$$$\alpha^{n}_{}$$$$\delta$$$$\left(\vphantom{ t-nT}\right.$$t - nT$$\left.\vphantom{ t-nT}\right)$$

La sua funzione di trasferimento risulta pari a H$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ = $\sum_{n=0}^{\infty }$$\alpha^{n}_{}$e^-j2$\pi$fnT e, ricordando la formula dello sviluppo in serie geometrica $\sum_{n=0}^{\infty }$$\beta^{n}_{}$ = ${\frac{1}{1-\beta }}$, si può scrivere

H$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ = $$\sum_{n=0}^{\infty }$$$$\left(\vphantom{ \alpha e^{-j2\pi fT}}\right.$$$$\alpha$$e^-j2$\pi$fT$$\left.\vphantom{ \alpha e^{-j2\pi fT}}\right)^{n}_{}$$ = $${\frac{1}{1-\alpha e^{-j2\pi fT}}}$$

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Notiamo subito che il filtro è stabile purchè $\left\vert\vphantom{ \alpha }\right.$$\alpha$ $\left.\vphantom{ \alpha }\right\vert$ < 1, altrimenti si ha una uscita anche senza ingresso, ovvero uscita infinita con ingresso limitato. Per ciò che riguarda $\left\vert\vphantom{ H\left ( f\right ) }\right.$H$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ $\left.\vphantom{ H\left( f\right) }\right\vert^{2}_{}$, otteniamo

$$\left\vert\vphantom{ H\left( f\right) }\right. \left(\vphantom{ f}\right. \left.\vphantom{ f}\right) \left.\vphantom{ H\left( f\right) }\right\vert^{2}_{} {\frac{1}{\left( 1-\alpha \cos \ldots \right) ^{2}+\left( \alpha \sin \ldots \right) ^{2}}}$$ =

$${\frac{1}{1+\alpha ^{2}-2\alpha \cos 2\pi fT}}$$ =

Il grafico a lato rappresenta 10log₁₀$\left\vert\vphantom{ H\left ( f\right ) }\right.$H$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ $\left.\vphantom{ H\left( f\right) }\right\vert^{2}_{}$, con T = 1 e diversi valori di $\alpha$. Osserviamo infine che il caso $\alpha$ = 1 corrisponde ad avere un integratore perfetto che, ad esempio, produce una rampa in uscita, se in ingresso c'è un gradino.