Funzione caratteristica

E' definita come l'antitrasformata di Fourier di una densità di probabilità, ovvero (equivalentemente) come il valore atteso di e^jwz:

$$\Phi_{z}^{}$$$$\left(\vphantom{ w}\right.$$w$$\left.\vphantom{ w}\right)$$ = $$\mathcal {F}$$^-1$$\left\{\vphantom{ p_{Z}\left( z\right) }\right.$$p_Z$$\left(\vphantom{ z}\right.$$z$$\left.\vphantom{ z}\right)$$ $$\left.\vphantom{ p_{Z}\left( z\right) }\right\}$$ = E_Z$$\left\{\vphantom{ e^{jwz}}\right.$$e^jwz$$\left.\vphantom{ e^{jwz}}\right\}$$ = $$\int$$p_Z$$\left(\vphantom{ z}\right.$$z$$\left.\vphantom{ z}\right)$$e^jwzdz

Osserviamo che, se applicata alla somma di v.a. indipendenti, si ha:

$$\Phi_{z}^{}$$$$\left(\vphantom{ w}\right.$$w$$\left.\vphantom{ w}\right)$$ = E_Z$$\left\{\vphantom{ e^{jw\left( x+y\right) }}\right.$$e^{jw$\left(\vphantom{ x+y}\right.$x + y$\left.\vphantom{ x+y}\right)$}$$\left.\vphantom{ e^{jw\left( x+y\right) }}\right\}$$ = E_Z$$\left\{\vphantom{ e^{jwx}e^{jwy}}\right.$$e^jwxe^jwy$$\left.\vphantom{ e^{jwx}e^{jwy}}\right\}$$ = E_X$$\left\{\vphantom{ e^{jwx}}\right.$$e^jwx$$\left.\vphantom{ e^{jwx}}\right\}$$E_Y$$\left\{\vphantom{ e^{jwy}}\right.$$e^jwy$$\left.\vphantom{ e^{jwy}}\right\}$$ = $$\Phi_{x}^{}$$$$\left(\vphantom{ w}\right.$$w$$\left.\vphantom{ w}\right)$$$$\Phi_{y}^{}$$$$\left(\vphantom{ w}\right.$$w$$\left.\vphantom{ w}\right)$$

ovvero la funzione caratteristica di una somma di v.a. indipendenti è pari al prodotto delle funzioni caratteristiche.

Effettuando ora l'operazione inversa (trasformata di Fourier della funzione caratteristica della somma) e ricordando che un prodotto in frequenza è una convoluzione nel tempo (e viceversa) si ottiene lo stesso risultato già trovato: p_Z$\left(\vphantom{ z}\right.$z$\left.\vphantom{ z}\right)$ = $\mathcal {F}$$\left\{\vphantom{ \Phi _{z}\left( w\right) }\right.$$\Phi_{z}^{}$$\left(\vphantom{ w}\right.$w$\left.\vphantom{ w}\right)$ $\left.\vphantom{ \Phi _{z}\left( w\right) }\right\}$ = $\mathcal {F}$$\left\{\vphantom{ \Phi _{x}\left( w\right) \Phi _{y}\left( w\right) }\right.$$\Phi_{x}^{}$$\left(\vphantom{ w}\right.$w$\left.\vphantom{ w}\right)$$\Phi_{y}^{}$$\left(\vphantom{ w}\right.$w$\left.\vphantom{ w}\right)$ $\left.\vphantom{ \Phi _{x}\left( w\right) \Phi _{y}\left( w\right) }\right\}$ = p_X$\left(\vphantom{ x}\right.$x$\left.\vphantom{ x}\right)$*p_Y$\left(\vphantom{ y}\right.$y$\left.\vphantom{ y}\right)$

La funzione caratteristica ha altri usi... ma non approfondiamo oltre.