Inviluppo complesso e modulazione di ampiezza e/o angolare

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Introduciamo l'argomento ricordando come un segnale x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = acos$\left(\vphantom{ \omega _{0}t+\varphi }\right.$$\omega_{0}^{}$t + $\varphi$ $\left.\vphantom{ \omega _{0}t+\varphi }\right)$ possa essere rappresentato per mezzo del fasore $\underline{x}$ = ae^j$\varphi$, mediante la relazione x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = $\Re$$\left\{\vphantom{ \underline{x}e^{j\omega _{0}t}}\right.$$\underline{x}$e^{j$\omega_{0}$t}$\left.\vphantom{ \underline{x}e^{j\omega _{0}t}}\right\}$. Estendiamo ora il concetto, definendo l'inviluppo complesso $\underline{x}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ come un fasore per il quale il modulo a e la fase $\varphi$ siano funzioni del tempo

$$\underline{x}$$$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ = a$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$e^{j$\varphi$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$}

rappresentato nella figura a fianco assieme ad una sua potenziale traiettoria temporale. Ad $\underline{x}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ possiamo associare un segnale reale

x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ = $$\Re$$$$\left\{\vphantom{ \underline{x}\left( t\right) e^{j\omega _{0}t}}\right.$$$$\underline{x}$$$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$e^{j$\omega_{0}$t}$$\left.\vphantom{ \underline{x}\left( t\right) e^{j\omega _{0}t}}\right\}$$ = a$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$cos$$\left(\vphantom{ \omega _{0}t+\varphi \left( t\right) }\right.$$$$\omega_{0}^{}$$t + $$\varphi$$$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ $$\left.\vphantom{ \omega _{0}t+\varphi \left( t\right) }\right)$$

corrispondente ad imprimere al piano dell'inviluppo complesso una rotazione antioraria a velocità angolare $\omega_{0}^{}$.

L'inviluppo complesso è un potente strumento che permette di descrivere il processo di modulazione in modo semplice ed omogeneo. Ad esempio, il caso (già noto) di traslazione in frequenza del segnale a$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ mediante moltiplicazione per un coseno, corrisponde ad un inviluppo complesso $\underline{x}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = a$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ a fase nulla: ad esso si dà il nome di modulazione di ampiezza^8.8 per (l'evidente) ragione che l'ampiezza del coseno varia in funzione del segnale a$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$; la frequenza f₀ = ${\frac{\omega _{0}}{2\pi }}$ prende il nome di frequenza portante. Se al contrario consideriamo un inviluppo complesso con modulo costante $\underline{x}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = e^{j$\varphi$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$}, l'andamento della fase $\varphi$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ imprime alla portante non modulata un diverso tipo di modulazione, detto modulazione di fase^8.9 o angolare in quanto il segnale modulante ( $\varphi$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ in questo caso) altera l'argomento del coseno.

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Prima di proseguire, riflettiamo sul risultato mostrato in figura, in cui si considera un segnale modulante m$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ prima costante, poi a rampa lineare, e quindi decrescente. Ponendo $\underline{x}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = m$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ si ottiene una portante modulata in ampiezza, mentre con $\underline{x}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = e^{jm$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$} la portante modulata angolarmente x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = cos$\left(\vphantom{ 2\pi f_{0}t+m\left( t\right) }\right.$2$\pi$f₀t + m$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ $\left.\vphantom{ 2\pi f_{0}t+m\left( t\right) }\right)$ presenta una ampiezza costante, ed una frequenza che nell'intervallo in cui m$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ aumenta linearmente cambia in un valore più elevato, per poi diminuire. In pratica, se m$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = $\alpha$t, allora l'argomento del coseno diviene 2$\pi$f₀t + $\alpha$t = 2$\pi$$\left(\vphantom{ f_{0}+\alpha }\right.$f₀ + $\alpha$ $\left.\vphantom{ f_{0}+\alpha }\right)$t.

Per meglio descrivere il caso di modulazione angolare, definiamo una fase istantanea

$$\psi$$$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ = 2$$\pi$$f₀t + $$\varphi$$$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$

ed una frequenza istantanea

f_i$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ = $${\frac{1}{2\pi }}$$$${\frac{d}{dt}}$$$$\psi$$$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ = f₀ + $${\frac{1}{2\pi }}$$$${\frac{d}{dt}}$$$$\varphi$$$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$

In questi termini, la modulazione angolare viene distinta in modulazione di fase propriamente detta quando

$$\varphi$$$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ = k_$\varphi$m$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$

mentre viene detta modulazione di frequenza quando

$$\varphi$$$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ = 2$$\pi$$k_f$$\int_{-\infty }^{t}$$m$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$d$$\tau$$

in quanto in questo caso è la frequenza istantanea a dipendere direttamente dal segnale modulante: f_i$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = f₀ + k_fm$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$.