Processo gaussiano bianco limitato in banda

Se x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ è gaussiano stazionario ergodico e bianco, con $\mathcal {P}$_x$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ = ${\frac{N_{0}}{2}}$ limitato in banda $\pm$W attorno ad f₀ e a media nulla, allora:

• x_c$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ e x_s$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ sono congiuntamente gaussiane, stazionarie, ergodiche e indipendenti, con $\mathcal {P}$_xc = $\mathcal {P}$_xs = $\mathcal {P}$_x = 2N₀W, e pari alle varianze $\sigma_{x}^{2}$, $\sigma_{x_{c}}^{2}$ e $\sigma_{x_{s}}^{2}$. Le rispettive densità di potenza valgono:
  $$\mathcal {P}$$_xc$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ = $$\mathcal {P}$$_xs$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ = $$\mathcal {P}$$_x⁺$$\left(\vphantom{ f+f_{0}}\right.$$f + f₀$$\left.\vphantom{ f+f_{0}}\right)$$ + $$\mathcal {P}$$_x^-$$\left(\vphantom{ f-f_{0}}\right.$$f - f₀$$\left.\vphantom{ f-f_{0}}\right)$$ = N₀rect_2W$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$

• L'inviluppo complesso ha potenza doppia:
  $$\mathcal {P}$$_{$\underline{x}$} = 2$$\mathcal {P}$$_xc = 4N₀W;        $$\mathcal {P}$$_{$\underline{x}$}$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ = 2N₀rect_2W$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$