Modulazione FM a basso indice

Riprendiamo qui il caso in cui $\beta$ $\ll$ 1 $\Rightarrow$ $\Delta$$\alpha$ $\ll$ 1, e quindi l'espansione in serie di potenze di $\underline{x}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ può arrestarsi al primo ordine; se il segnale modulante è cosinusoidale, il segnale FM risulta

x_FM$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = acos$\left(\vphantom{ \omega _{0}t+2\pi k_{f}\int _{-\infty }^{t}\cos \left( 2\pi w\tau \right) d\tau }\right.$$\omega_{0}^{}$t + 2$\pi$k_f$\int_{-\infty }^{t}$cos$\left(\vphantom{ 2\pi w\tau }\right.$2$\pi$w$\tau$ $\left.\vphantom{ 2\pi w\tau }\right)$d$\tau$ $\left.\vphantom{ \omega _{0}t+2\pi k_{f}\int _{-\infty }^{t}\cos \left( 2\pi w\tau \right) d\tau }\right)$ = acos$\left(\vphantom{ \omega _{0}t+\beta \sin \left( 2\pi w\tau \right) }\right.$$\omega_{0}^{}$t + $\beta$sin$\left(\vphantom{ 2\pi w\tau }\right.$2$\pi$w$\tau$ $\left.\vphantom{ 2\pi w\tau }\right)$ $\left.\vphantom{ \omega _{0}t+\beta \sin \left( 2\pi w\tau \right) }\right)$

Ricordando che cos$\left(\vphantom{ \alpha +\beta }\right.$$\alpha$ + $\beta$ $\left.\vphantom{ \alpha +\beta }\right)$ = cos$\alpha$cos$\beta$ - sin$\alpha$sin$\beta$, x_FM$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ può essere riscritto come

x_FM$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = acos$\omega_{0}^{}$tcos($\beta$sin 2$\pi$wt) - asin$\omega_{0}^{}$tsin($\beta$sin 2$\pi$wt)

che, se $\beta$ $\ll$ 1, diviene

x_FM$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = acos$\omega_{0}^{}$t - $\beta$asin$\omega_{0}^{}$tsin 2$\pi$wt

che confrontiamo con l'espressione

x_AM$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = a_pcos$\omega_{0}^{}$t + k_acos$\omega_{0}^{}$tcos 2$\pi$wt

che si otterrebbe per modulazione a portante intera, o ridotta, dello stesso m$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$.

Il confronto rivela che il segnale modulante, mentre nell'AM opera in fase alla portante, nell'FM a basso indice opera in quadratura. Il risultato esposto costituisce ad ogni modo uno schema di modulazione per segnali FM a basso indice, realizzabile sommando alla portante un segnale modulato AM su di una portante in quadratura.

Resta il fatto che uno schema di modulazione del genere produce anche una modulazione AM parassita: quest'ultima è eliminata in ricezione dall'azione congiunta di uno squadratore e di un filtro passa basso.