STORIA DEL CALCOLO AUTOMATICO
E DELLE SUE APPLICAZIONI PRATICHE


SISTEMI DI NUMERAZIONE


L'evoluzione dei numeri indo-arabi: dal mille d.C.
(in alto) all'Italia del 1400 (ultima serie in basso).

  • Il problema fondamentale della numerazione è sempre stato quello di rappresentare con un numero limitato di segni particolari, detti cifre, l’infinità dei numeri. Come noto, noi usiamo un sistema decimale, con 10 cifre-base che vanno da 0 a 9. Il numero 0, chiamato dagli arabi "vuoto" e dagli orientali "circolo", fu introdotto in Italia dal pisano Leonardo Fibocacci, nel 1223, col nome che dura ancora oggi e che proviene da "zefiro" (dolce venticello). Insomma, fu con l’uso della numerazione scritta posizionale arabica, che, a sua volta, rifletteva quella indiana, che l'Europa aveva scoperto la grande importanza dello zero.
  • Ora, nel nostro sistema decimale, dieci unità del primo ordine formano una decina, che costituisce una unità del secondo ordine; 10 unità del secondo ordine formano un centinaio, che costituisce una unità del terzo ordine, ecc. Per cui abbiamo: 1=100, 10=101, 100=102, 1000=103...
  • Così, ad es.: 298 = 8 unità del primo ordine, 9 unità (decine) del secondo ordine, 2 unità (centinaia) del terzo ordine. 298 si può anche scrivere così: 2x100 + 9x10 + 8x1 = 2x102 + 9x101 + 8x100.

La più antica indicazione delle nostre cifre trovata in Europa.
  • Si poteva però scegliere un sistema di numerazione a base 5, cioè da 0 a 4, e le cose dal punto di vista logico non sarebbero cambiate. Per rappresentare 298 si sarebbe dovuto fare così: 298:5=(59 con resto 3), 59:5=(11 con resto 4), 11:5=(2 con resto 1). Cioè occorre dividere per 5 finché non si ottengono dei numeri inferiori a 5. In questo caso 298 scritto a base 10, è rappresentato a base 5 col numero 2143, cioè: 3 = unità del primo ordine, 4 = unità del secondo ordine, 1 = unità del terzo ordine, 2 = unità del quarto ordine.

Ebrei e greci usavano anche le lettere dell'alfabeto come segni numerici.

  • Per poter risalire da una numerazione a base arbitraria a una decimale è semplice: 2143 = 2x53 + 1x52 + 4x51 + 3x50 (nel sistema a base 5 ogni unità di un dato ordine è uguale a 5 unità dell’ordine subito inferiore) = 298.
  • Naturalmente si potevano scegliere sistemi di numerazione a base 3, 7, 9 ecc. Nel sistema quaternario, il pollice serviva per contare le altre dita. (Clicca qui per il sistema a base 3).
  • Tuttavia, il sistema che si è preferito adottare nel calcolo computeristico è stato quello binario, cioè a base 2, composto da 0 e 1. E' stata la facilità di rappresentarlo elettricamente che ha mosso la decisione. Esso infatti richiede due soli simboli, che possono facilmente essere tradotti con due stati elettrici (ad es. corrente positiva e negativa, acceso e spento).
  • Usata dalla civiltà cinese molto tempo prima della nostra era, la numerazione binaria presenta inoltre il vantaggio di non richiedere la conoscenza di una tavola di addizione o di moltiplicazione.
  • E questo nonostante che la rappresentazione binaria di un numero richieda circa il triplo delle cifre richieste per la sua rappresentazione decimale. 
  • E' vero che le espressioni, essendoci un numero minimo di simboli, richiedono un tempo molto lungo di elaborazione, poiché si vengono a creare lunghe file di 0 e di 1, ma l’enorme velocità del computer ha saputo risolvere anche questo problema.
  • Un numero in codice binario è quindi ottenuto dalle cifre 0 e 1 che, da destra a sinistra, indicano le potenze di 2 necessarie a formare il corrispondente numero decimale; ad es. 11001 corrisponde a 25, essendo: 25=1×24+1×2³+0×2²+0×2¹+1×2º.
Esadecimale Binario
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
  • Di un certo interesse era anche il sistema vigesimale degli antichi Maya. Come base dei loro calcoli avevano preso il numero 20, cioè la somma delle dita dei mani e dei piedi. La conchiglia era il simbolo dello zero; il punto equivaleva a uno; la barra (--) a 5. Questo sistema di numerazione, che era posizione e non additivo (come quello romano), permetteva di calcolare somme molto grandi.

Il sistema a base 20 dei Maya

  • Come sistema, il loro era certamente migliore di quello egiziano e greco-romano. I primi spagnoli rimasero impressionati dalla rapidità con cui i Maya contavano, senza misure di capacità o peso, i semi di cacao, che vendevano uno ad uno in quantità varianti da 400 a 8.000.


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Enrico Galavotti - Homolaicus - Sezione Scienza -  - Stampa pagina
Aggiornamento: 13/12/2012