Densità spettrale di segnali modulati angolarmente

Riprendiamo l'espressione dell'inviluppo complesso di un segnale modulato angolarmente

$$\underline{x}$$$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ = ae^{j$\alpha$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$} = a$$\sum_{n=0}^{\infty }$$$${\frac{\left[ j\alpha \left( t\right) \right] ^{n}}{n!}}$$

Osserviamo subito che la potenza totale di $\underline{x}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ vale sempre $\mathcal {P}$_{$\underline{x}$} = a², indipendentemente da $\alpha$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, e dunque $\mathcal {P}$_x = ${\frac{a^{2}}{2}}$. Per ciò che riguarda $\mathcal {P}$_x$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$, in linea di principio non si potrebbe neanche affermare che $\underline{x}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ sia limitato in banda, vista la presenza delle potenze di qualunque ordine di $\alpha$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$. D'altro canto, la presenza dei fattoriali fa sí che la serie di potenze possa essere troncata ad un certo ordine $\nu$ < $\infty$. Se poniamo ora $\alpha$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = k_$\phi$m$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, osserviamo che quanto piú $\left\vert\vphantom{ k_{\phi }m\left( t\right) }\right.$k_$\phi$m$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ $\left.\vphantom{ k_{\phi }m\left( t\right) }\right\vert$ è piccolo, tanto prima può essere troncata la serie con errori trascurabili. In particolare, se $\alpha$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ si mantiene sempre molto piccolo, la serie di potenze può essere troncata al primo termine (n = 1), dando luogo ad un comportamento praticamente lineare.

Se invece $\alpha$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ assume valori molto elevati, e quindi la serie di potenze comprende parecchi termini, subentra un secondo aspetto peculiare dell'FM, e cioè quello della conversione ampiezza $\rightarrow$ frequenza. Infatti, dato che f_i$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = f₀ + k_fm$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, la frequenza istantanea presenta scostamenti rispetto ad f₀ completamente dipendenti dalle ampiezze di m$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, e quindi l'andamento della densità di potenza $\mathcal {P}$_x$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ risulta strettamente dipendente da quello della densità di probabilità di p_M$\left(\vphantom{ m}\right.$m$\left.\vphantom{ m}\right)$ che descrive le ampiezze di m$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$.

Per valori intermedi della dinamica di $\alpha$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, invece, la $\mathcal {P}$_x$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ risultante sarà una via di mezzo tra i due casi estremi discussi, che pertanto possono essere pensati come casi limite tra cui porre la densità di potenza effettiva.

Come anticipato, la natura non lineare della modulazione angolare rende necessario studiare ogni caso individualmente; pertanto la determinazione di $\mathcal {P}$_x$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ viene svolta per due casi particolari, considerando le due possibilità estreme di $\alpha$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ molto piccolo o molto grande, ed i risultati estrapolati per approssimare altre situazioni; i due casi esaminati sono:

• m$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ sinusoidale e
• m$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ membro di un processo stazionario ergodico.