Modulazione a basso indice

Ora l'indice di modulazione $\beta$ si assume piccolo a sufficienza, da far sí che lo sviluppo in serie dell'inviluppo complesso del segnale modulato possa essere arrestato ai primi termini.

Sotto opportune ipotesi, si può mostrare che vale il risultato

$$\mathcal {P}$$_{$\underline{x}$}$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ $$\simeq$$ a²e^{- $\sigma_{\alpha }^{2}$}$$\left[\vphantom{ \delta \left( f\right) +\mathcal{P}_{\alpha }\le... ...{\alpha }\left( f\right) *\mathcal{P}_{\alpha }\left( f\right) +\cdots }\right.$$$$\delta$$$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ + $$\mathcal {P}$$_$\alpha$$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ + $${\textstyle\frac{1}{2}}$$$$\mathcal {P}$$_$\alpha$$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$*$$\mathcal {P}$$_$\alpha$$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ + $${\frac{1}{3!}}$$$$\mathcal {P}$$_$\alpha$$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$*$$\mathcal {P}$$_$\alpha$$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$*$$\mathcal {P}$$_$\alpha$$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ + ^... $$\left.\vphantom{ \delta \left( f\right) +\mathcal{P}_{\alpha }\le... ...{\alpha }\left( f\right) *\mathcal{P}_{\alpha }\left( f\right) +\cdots }\right]$$

avendo indicando con $\sigma_{\alpha }^{2}$ la varianza della fase modulata e con $\mathcal {P}$_$\alpha$$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ il relativo spettro di densità di potenza, pari rispettivamente a

		$\mathcal {P}$$\alpha$$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$		$\sigma_{\alpha }^{2}$
PM		k$\phi$2$\mathcal {P}$M$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$		k$\phi$2PM
FM		kf2${\frac{\mathcal{P}_{M}\left( f\right) }{f^{2}}}$		kf2$\int_{-w}^{w}$${\frac{\mathcal{P}_{M}\left( f\right) }{f^{2}}}$df

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Osserviamo che se k_$\phi$ (o k_f) tendono a zero, $\mathcal {P}$_{$\underline{x}$}(f ) si riduce ad un impulso, corrispondente alla portante non modulata. All'aumentare di k_$\phi$ (o k_f), aumenta anche $\sigma_{\alpha }^{2}$ e dunque il termine e^{- $\sigma^{2}_{\alpha }$} diminuisce, riducendo la concentrazione di potenza a frequenza portante. Dato che risulta comunque P_{$\underline{x}$} = a², la potenza residua si distribuisce sugli altri termini, rappresentati da $\mathcal {P}$_$\alpha$(f ) e le sue autoconvoluzioni. E' immediato notare come, al crescere di k_$\phi$ (o k_f), cresca la banda.

In appendice 9.4.5 è illustrata una tecnica di modulazione per segnali FM modulati a basso indice.