Densità spettrale FM con processo aleatorio modulante

Riprendiamo il ragionamento iniziato in 9.3.2, relativo all'influenza di p_M$\left(\vphantom{ m}\right.$m$\left.\vphantom{ m}\right)$ su $\mathcal {P}$_x$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$. Considerando che la frequenza istantanea ha espressione f_i = f₀ + k_fm$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, la frazione di potenza tra f₁ ed f₂ sarà pari alla frazione di tempo che il segnale m$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ si trova tra m₁ = ${\frac{f_{1}-f_{0}}{k_{f}}}$ $\leq$ m$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ $\leq$ m₂ = ${\frac{f_{2}-f_{0}}{k_{f}}}$. Nel caso in cui m$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ sia sinusoidale, con fase iniziale aleatoria a distribuzione uniforme, m$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ è una realizzazione di un processo armonico, e la frazione di tempo su indicata equivale alla Prob$\left\{\vphantom{ m_{1}\leq m\left( t\right) \leq m_{2}}\right.$m₁ $\leq$ m$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ $\leq$ m₂$\left.\vphantom{ m_{1}\leq m\left( t\right) \leq m_{2}}\right\}$. Pertanto le righe spettrali, addensandosi, tendono a disporsi in accordo all'andamento della densità p_M$\left(\vphantom{ m}\right.$m$\left.\vphantom{ m}\right)$^9.26.

Il risultato a cui siamo pervenuti nel caso di modulante sinusoidale è generale, e pertanto si può affermare che qualora si generi un segnale FM ad alto indice, a partire da un processo con densità di probabilità nota, lo spettro di densità di potenza del segnale modulato acquisisce l'andamento proprio della densità di probabilità del processo modulante, indipendentemente dal suo spettro di densità di potenza.

La conclusione riportata si mantiene valida purchè $\beta$ $\gg$ 1; nel caso contrario, sono validi i ragionamenti sviluppati alla sezione 9.3.3.2.

Esempio:

un processo uniforme m$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ limitato in banda $\pm$W, con densità di probabilità p_M(m) = ${\frac{1}{\Delta _{M}}}$rect_{$\Delta_{M}$}(m), modula ad alto indice la frequenza di una portante, con frequenza f₀ ed ampiezza a, con un coefficiente di modulazione k_f. Determinare $\mathcal {P}$_x(f ) del segnale modulato.

Notiamo subito che la frequenza istantanea f_i rimane limitata tra f₀ - ${\frac{\Delta _{M}}{2}}$k_f e f₀ + ${\frac{\Delta _{M}}{2}}$k_f. Inoltre, la potenza totale deve risultare ancora pari a ${\frac{a^{2}}{2}}$. Pertanto si ottiene^9.27: $\mathcal {P}$_x$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ = ${\frac{a^{2}}{4\Delta _{M}k_{f}}}$$\left[\vphantom{ \hbox {rect}_{\Delta _{M}k_{f}}(f-f_{0})+\hbox {rect}_{\Delta _{M}k_{f}}(f+f_{0})}\right.$rect_{$\Delta_{M}$kf}(f - f₀) + rect_{$\Delta_{M}$kf}(f + f₀)$\left.\vphantom{ \hbox {rect}_{\Delta _{M}k_{f}}(f-f_{0})+\hbox {rect}_{\Delta _{M}k_{f}}(f+f_{0})}\right]$