Funzioni di Densità e di Distribuzione di Probabilità

Cosí come un oggetto non omogeneo è piú o meno denso in regioni differenti del suo volume complessivo, cosí la densità di probabilità mostra su quali valori della variabile aleatoria si concentra la probabilità. Cosí, ad esempio, la densità della v.a. discreta associata al lancio di un dado può essere scritta: p_D$\left(\vphantom{ x}\right.$x$\left.\vphantom{ x}\right)$ = $\sum^{6}_{n=1}$${\frac{1}{6}}$$\delta$$\left(\vphantom{ x-n}\right.$x - n$\left.\vphantom{ x-n}\right)$ il cui significato discutiamo subito, con l'aiuto dei due grafici seguenti.

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D e x indicano rispettivamente la v.a. (il numero che uscirà) ed una sua realizzazione (una delle 6 facce). I 6 impulsi centrati in x = n rappresentano una concentrazione di probabilità nei sei possibili valori; l'area di tali impulsi è proprio pari alla probabilità di ognuno dei sei risultati. E' facile verificare che

$$\int_{-\infty }^{\infty }$$p_D$$\left(\vphantom{ x}\right.$$x$$\left.\vphantom{ x}\right)$$dx = 1

e che risulta

$$\int_{a}^{b}$$p_D$$\left(\vphantom{ x}\right.$$x$$\left.\vphantom{ x}\right)$$dx = Pr$$\left\{\vphantom{ a<D\leq b}\right.$$a < D $$\leq$$ b$$\left.\vphantom{ a<D\leq b}\right\}$$

ovvero pari alla probabilità che la v.a. D assuma un valore tra a e b. In particolare, non potendosi verificare una probabilità negativa, si ha p_D$\left(\vphantom{ x}\right.$x$\left.\vphantom{ x}\right)$ $\geq$ 0 con $\forall$x.

Una funzione di v.a. strettamente collegata alla densità è la funzione distribuzione di probabilità^5.7, definita come

F_X$$\left(\vphantom{ x}\right.$$x$$\left.\vphantom{ x}\right)$$ = $$\int_{-\infty }^{x}$$p_X$$\left(\vphantom{ \xi }\right.$$$$\xi$$ $$\left.\vphantom{ \xi }\right)$$d$$\xi$$

che risulta una funzione non decrescente di x, limitata ad un massimo valore di 1, ed il cui andamento mostriamo sotto alla p_D$\left(\vphantom{ x}\right.$x$\left.\vphantom{ x}\right)$, nel caso dell'esempio del lancio del dado^5.8.

Le definizioni date mantengono validità nel caso di v.a. continua, originando le curve mostrate nei due grafici a lato. Ora è ancora piú evidente la circostanza che p_X$\left(\vphantom{ x}\right.$x$\left.\vphantom{ x}\right)$ è una densità, e diviene una probabilità solo quando moltiplicata per un intervallo di x(^5.9).

0.400000

Per finire, citiamo la stretta relazione che intercorre tra la densità di probabilità e l'istogramma. Quest'ultimo può essere realizzato se sono disponibili serie di realizzazioni della v.a., e si ottiene suddividendo il campo di variabilità della grandezza X in sotto-intervalli, e disegnando rettangoli verticali, ognuno di altezza pari al numero di volte che (nel'ambito del campione statistico a disposizione) X assume un valore in quell'intervallo. Dividendo l'altezza di ogni rettangolo per il numero di osservazioni N, si ottiene una approssimazione di p_X$\left(\vphantom{ x}\right.$x$\left.\vphantom{ x}\right)$, via via piú precisa con N $\rightarrow$ $\infty$, e con una conseguente riduzione dell'estensione degli intervalli.