Medie temporali calcolate come momenti

L'estrazione da x$\left(\vphantom{ t,\theta _{i}}\right.$t,$\theta_{i}^{}$ $\left.\vphantom{ t,\theta _{i}}\right)$ di un valore ad un istante casuale, definisce una ulteriore variabile aleatoria, descritta dalla densità di probabilità (condizionata) p_X$\left(\vphantom{ x/\theta _{i}}\right.$x/$\theta_{i}^{}$ $\left.\vphantom{ x/\theta _{i}}\right)$, che disegnamo a fianco di ogni singolo membro. Qualora la p_X$\left(\vphantom{ x/\theta _{i}}\right.$x/$\theta_{i}^{}$ $\left.\vphantom{ x/\theta _{i}}\right)$ sia nota, le medie temporali possono essere calcolate (per quel membro^5.20) come i momenti:

m_X^{$\left(\vphantom{ n}\right.$n$\left.\vphantom{ n}\right)$}$$\left(\vphantom{ \theta _{i}}\right.$$$$\theta_{i}^{}$$ $$\left.\vphantom{ \theta _{i}}\right)$$ = $$\lim_{T\rightarrow \infty }^{}$$$${\frac{1}{T}}$$$$\int_{-T/2}^{T/2}$$xⁿ$$\left(\vphantom{ t,\theta _{i}}\right.$$t,$$\theta_{i}^{}$$ $$\left.\vphantom{ t,\theta _{i}}\right)$$dt = $$\int_{-\infty }^{\infty }$$xⁿp_X$$\left(\vphantom{ x/\theta _{i}}\right.$$x/$$\theta_{i}^{}$$ $$\left.\vphantom{ x/\theta _{i}}\right)$$dx = E_{X/$\Theta$ = $\theta_{i}$}$$\left\{\vphantom{ x^{n}}\right.$$xⁿ$$\left.\vphantom{ x^{n}}\right\}$$

Ciò equivale infatti ad effettuare una media ponderata, in cui ogni possibile valore di x è pesato per la sua probabilità p_X$\left(\vphantom{ x/\theta _{i}}\right.$x/$\theta_{i}^{}$ $\left.\vphantom{ x/\theta _{i}}\right)$dx.