Caratteristiche dei sistemi

Idealizziamo ora un sistema come una trasfomazione $\mathcal {T}$$\left[\vphantom{ .}\right.$.$\left.\vphantom{ .}\right]$, tale che ad ogni segnale di ingresso x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ corrisponda una uscita y$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$: $\mathcal {T}$$\left[\vphantom{ x\left( t\right) }\right.$x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ $\left.\vphantom{ x\left( t\right) }\right]$ = y$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$. In base a tale formalismo, riportiamo alcune caratteristiche dei sistemi, che ne descrivono il comportamento in termini più generali.

Linearità

Un sistema è lineare quando l'uscita associata ad una combinazione lineare di ingressi, è la combinazione lineare delle uscite previste per ogni singolo ingresso: $\mathcal {T}$$\left[\vphantom{ \sum _{i}a_{i}x_{i}\left( t\right) }\right.$$\sum_{i}^{}$a_ix_i$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ $\left.\vphantom{ \sum _{i}a_{i}x_{i}\left( t\right) }\right]$ = $\sum_{i}^{}$a$\mathcal {T}$$\left[\vphantom{ x_{i}\left( t\right) }\right.$x_i$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ $\left.\vphantom{ x_{i}\left( t\right) }\right]$. Al contrario, un legame ingresso-uscita senza memoria^1.13 del tipo y$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = g$\left(\vphantom{ x\left( t\right) }\right.$x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ $\left.\vphantom{ x\left( t\right) }\right)$, in cui g$\left(\vphantom{ .}\right.$.$\left.\vphantom{ .}\right)$ è una generica funzione non lineare^1.14 .... non è lineare !

Permanenza

Un sistema è permanente (o stazionario) se l'uscita associata ad un ingresso traslato nel tempo, è la traslazione temporale dell'uscita che si avrebbe per lo stesso ingresso non traslato, ovvero: se $\mathcal {T}$$\left[\vphantom{ x\left( t\right) }\right.$x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ $\left.\vphantom{ x\left( t\right) }\right]$ = y$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, allora $\mathcal {T}$$\left[\vphantom{ x\left( t-\tau \right) }\right.$x$\left(\vphantom{ t-\tau }\right.$t - $\tau$ $\left.\vphantom{ t-\tau }\right)$ $\left.\vphantom{ x\left( t-\tau \right) }\right]$ = y$\left(\vphantom{ t-\tau }\right.$t - $\tau$ $\left.\vphantom{ t-\tau }\right)$. Nel caso contrario, il sistema è detto tempo-variante.

Realizzabilità fisica

E' detta anche causalità, perché consiste nel non poter osservare una uscita, prima di aver applicato un qualunque ingresso. Una definizione alternativa asserisce che i valori di uscita y$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ ad un istante t = t₀, non possono dipendere da valori di ingresso x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ per t > t₀.

Stabilità

è definita come la proprietà di fornire uscite limitate (in ampiezza) per ingressi limitati.