Segnale Analitico

Il segnale analitico associato al segnale x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ corrisponde al suo contenuto a frequenze positive x⁺$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, che abbiamo già introdotto; si può mostrare che x⁺$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ è esprimibile in termini di $\widehat{x}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, secondo l'espressione^8.15:

$$\left(\vphantom{ t}\right. \left.\vphantom{ t}\right) {\textstyle\frac{1}{2}} \left(\vphantom{ x\left( t\right) +j\widehat{x}\left( t\right) }\right. \left(\vphantom{ t}\right. \left.\vphantom{ t}\right) \widehat{x} \left(\vphantom{ t}\right. \left.\vphantom{ t}\right) \left.\vphantom{ x\left( t\right) +j\widehat{x}\left( t\right) }\right)$$ (8.1)

Molto utile è anche la relazione che lega il segnale analitico all'inviluppo complesso:

$$\left(\vphantom{ t}\right. \left.\vphantom{ t}\right) {\textstyle\frac{1}{2}} \underline{x} \left(\vphantom{ t}\right. \left.\vphantom{ t}\right) \omega_{0}$$ (8.2)

che si ottiene tenendo conto dalla (8.1), come illustrato alla nota^8.16. Effettivamente, l'ultima relazione rappresenta il contenuto a frequenze positive di x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, a patto che $\underline{x}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ sia di banda base con frequenza massima W < f₀; in tal caso infatti si ottiene che, traformando la (8.2), risulta

0.300000

 

 

 

X⁺$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ = $$\mathcal {F}$$$$\left\{\vphantom{ x^{+}\left( t\right) }\right.$$x⁺$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ $$\left.\vphantom{ x^{+}\left( t\right) }\right\}$$ = $${\textstyle\frac{1}{2}}$$$$\underline{X}$$$$\left(\vphantom{ f-f_{0}}\right.$$f - f₀$$\left.\vphantom{ f-f_{0}}\right)$$

che giace tutta nel semipiano f > 0.

Per ottenere x⁺$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ (e da questo $\underline{x}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = 2x⁺$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$e^{-j$\omega_{0}$t}), anzichè utilizzare $\widehat{x}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, si può pensare che x⁺$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ sia il risultato del passaggio di x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ attraverso un filtro H_fp$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$^8.17 con funzione di trasferimento a gradino unitario:

x⁺$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ = x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$*h_fp$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$

Invertendo la (8.2), otteniamo $\underline{x}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = 2x⁺$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$e^{-j$\omega_{0}$t}, che ci permette finalmente di valutare l'espressione di $\underline{X}$$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$:

$$\underline{X}$$$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ = 2X⁺$$\left(\vphantom{ f+f_{0}}\right.$$f + f₀$$\left.\vphantom{ f+f_{0}}\right)$$

Ricordando ora che $\mathcal {E}$_x$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ = $\left\vert\vphantom{ X\left( f\right) }\right.$X$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ $\left.\vphantom{ X\left( f\right) }\right\vert^{2}_{}$, otteniamo

$$\mathcal {E}$$_{$\underline{x}$}$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ = 4$$\left\vert\vphantom{ X^{+}\left( f+f_{0}\right) }\right.$$X⁺$$\left(\vphantom{ f+f_{0}}\right.$$f + f₀$$\left.\vphantom{ f+f_{0}}\right)$$ $$\left.\vphantom{ X^{+}\left( f+f_{0}\right) }\right\vert^{2}_{}$$ = 4$$\mathcal {E}$$_x⁺$$\left(\vphantom{ f+f_{0}}\right.$$f + f₀$$\left.\vphantom{ f+f_{0}}\right)$$

Un risultato del tutto simile può essere ottenuto per segnali di potenza, ovvero

$$\mathcal {P}$$_{$\underline{x}$}$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ = 4$$\mathcal {P}$$_x⁺$$\left(\vphantom{ f+f_{0}}\right.$$f + f₀$$\left.\vphantom{ f+f_{0}}\right)$$

Pertanto, la densità di potenza di $\underline{x}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ si ottiene da quella a frequenze positive di x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, traslata nell'origine e moltiplicata per 4.