Fasori

Come è noto da altri corsi, un segnale del tipo x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = Acos$\left(\vphantom{ 2\pi f_{0}t+\varphi }\right.$2$\pi$f₀t + $\varphi$ $\left.\vphantom{ 2\pi f_{0}t+\varphi }\right)$ è completamente rappresentato dal numero complesso $\underline{x}$ = Ae^j$\varphi$ detto fasore, la cui conoscenza permette di riottenere il segnale originario mediante la relazione x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = $\Re$$\left\{\vphantom{ \underline{x}\cdot \hbox {e}^{j2\pi f_{0}t}}\right.$$\underline{x}$ ^. e^j2$\pi$f₀t$\left.\vphantom{ \underline{x}\cdot \hbox {e}^{j2\pi f_{0}t}}\right\}$, che una volta sviluppata risulta infatti pari a

0.170000

 

$$\left(\vphantom{ t}\right. \left.\vphantom{ t}\right) \Re \left\{\vphantom{ A\cdot \hbox {e}^{j\left( 2\pi f_{0}t+\varphi \right) }}\right. \left(\vphantom{ 2\pi f_{0}t+\varphi }\right. \pi \varphi \left.\vphantom{ 2\pi f_{0}t+\varphi }\right) \left.\vphantom{ A\cdot \hbox {e}^{j\left( 2\pi f_{0}t+\varphi \right) }}\right\} \Re \left\{\vphantom{ \cos \left( 2\pi f_{0}t+\varphi \right) +j\sin \left( 2\pi f_{0}t+\varphi \right) }\right. \left(\vphantom{ 2\pi f_{0}t+\varphi }\right. \pi \varphi \left.\vphantom{ 2\pi f_{0}t+\varphi }\right) \left(\vphantom{ 2\pi f_{0}t+\varphi }\right. \pi \varphi \left.\vphantom{ 2\pi f_{0}t+\varphi }\right) \left.\vphantom{ \cos \left( 2\pi f_{0}t+\varphi \right) +j\sin \left( 2\pi f_{0}t+\varphi \right) }\right\}$$ =

$$\left(\vphantom{ 2\pi f_{0}t+\varphi }\right. \pi \varphi \left.\vphantom{ 2\pi f_{0}t+\varphi }\right)$$ =

Osserviamo che il risultato ottenuto può interpretarsi graficamente come l'aver impresso al fasore una rotazione di velocità angolare $\omega_{0}^{}$ = 2$\pi$f₀ radianti/secondo in senso antiorario, ed aver proiettato il risultato sull'asse reale^2.2. In alternativa, possiamo esprimere il segnale di partenza anche come

x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ = $${\textstyle\frac{1}{2}}$$$$\left\{\vphantom{ \underline{x}\hbox {e}^{j2\pi f_{0}t}+\underline{x}^{*}\hbox {e}^{-j2\pi f_{0}t}}\right.$$$$\underline{x}$$e^j2$\pi$f₀t + $$\underline{x}^{*}_{}$$e^{-j2$\pi$f₀t}$$\left.\vphantom{ \underline{x}\hbox {e}^{j2\pi f_{0}t}+\underline{x}^{*}\hbox {e}^{-j2\pi f_{0}t}}\right\}$$

Tale operazione coinvolge anche le frequenze negative, e corrisponde a tener conto anche di un secondo vettore rotante, che si muove ora in senso orario, che ha una parte immaginaria di segno sempre opposto al primo, e che è moltiplicato per il coniugato del fasore. Vedremo tra breve che l'ultima espressione fornita è esattamente quella della serie di Fourier per il caso in questione.