Banda Laterale Unica - BLU

Come abbiamo visto, la modulazione BLD determina una occupazione di banda per x(t) doppia di quella di m(t). Per impegnare invece una banda pari a quella di m(t), il segnale modulato deve dipendere da entrambe le componenti analogiche x_c(t) ed x_s(t), che devono risultare: $\left\{\vphantom{ \begin{array}{c} x_{c}(t)=m(t)\\ x_{s}(t)=\widehat{m}(t) \end{array}}\right.$$\begin{array}{c} x_{c}(t)=m(t)\\ x_{s}(t)=\widehat{m}(t) \end{array}$. Infatti in tal modo si ottiene:

$$\left(\vphantom{ t}\right. \left.\vphantom{ t}\right) \left(\vphantom{ t}\right. \left.\vphantom{ t}\right) \omega_{0}^{} \widehat{m} \left(\vphantom{ t}\right. \left.\vphantom{ t}\right) \omega_{0}^{} \left(\vphantom{ t}\right. \left.\vphantom{ t}\right) {\frac{\hbox {e}^{j\omega _{0}t}+\hbox {e}^{-j\omega _{0}t}}{2}} \widehat{m} \left(\vphantom{ t}\right. \left.\vphantom{ t}\right) {\frac{\hbox {e}^{j\omega _{0}t}-\hbox {e}^{-j\omega _{0}t}}{2j}}$$ =

$$\omega_{0} {\textstyle\frac{1}{2}} \left[\vphantom{ m\left( t\right) +j\widehat{m}\left( t\right) }\right. \left(\vphantom{ t}\right. \left.\vphantom{ t}\right) \widehat{m} \left(\vphantom{ t}\right. \left.\vphantom{ t}\right) \left.\vphantom{ m\left( t\right) +j\widehat{m}\left( t\right) }\right] \omega_{0} {\textstyle\frac{1}{2}} \left[\vphantom{ m\left( t\right) -j\widehat{m}\left( t\right) }\right. \left(\vphantom{ t}\right. \left.\vphantom{ t}\right) \widehat{m} \left(\vphantom{ t}\right. \left.\vphantom{ t}\right) \left.\vphantom{ m\left( t\right) -j\widehat{m}\left( t\right) }\right]$$ =

Ricordando ora che ${\frac{1}{2}}$$\left[\vphantom{ m\left( t\right) \pm j\widehat{m}\left( t\right) }\right.$m$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$$\pm$j$\widehat{m}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ $\left.\vphantom{ m\left( t\right) \pm j\widehat{m}\left( t\right) }\right]$ = m^$\pm$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ è proprio il contenuto a frequenze positive (negative), se x(t) è di energia, effettuando la trasformata di Fourier di ambo i membri si ottiene

$$\left(\vphantom{ f}\right. \left.\vphantom{ f}\right) \delta \left(\vphantom{ f-f_{0}}\right. \left.\vphantom{ f-f_{0}}\right) \left(\vphantom{ f}\right. \left.\vphantom{ f}\right) \delta \left(\vphantom{ f+f_{0}}\right. \left.\vphantom{ f+f_{0}}\right) \left(\vphantom{ f}\right. \left.\vphantom{ f}\right)$$ =

$$\left(\vphantom{ f-f_{0}}\right. \left.\vphantom{ f-f_{0}}\right) \left(\vphantom{ f+f_{0}}\right. \left.\vphantom{ f+f_{0}}\right)$$ =

e quindi il segnale modulato AM-BLU è formato dai contenuti a frequenze positive e negative di m$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, traslati ai lati della portante f₀.

Qualora si consideri invece m$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ un processo, si può dimostrare (passando dalla trasformata di $\mathcal {R}$_x$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$) un risultato del tutto analogo, ovvero

 

0.400000

 

 

$$\mathcal {P}$$_x$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ = $$\mathcal {P}$$_M⁺$$\left(\vphantom{ f-f_{0}}\right.$$f - f₀$$\left.\vphantom{ f-f_{0}}\right)$$ + $$\mathcal {P}$$_M^-$$\left(\vphantom{ f+f_{0}}\right.$$f + f₀$$\left.\vphantom{ f+f_{0}}\right)$$

Nel caso descritto abbiamo considerato soppressa la portante, ed il segnale modulato (considerato nel dominio della frequenza) risulta ``esterno'' ad f₀: questa circostanza è indicata con il termine di banda laterale superiore. Il caso opposto (banda laterale inferiore) si ottiene cambiando segno a x_s$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$. Scriviamo dunque

x_BLU$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ = $${\frac{k_{a}}{\sqrt{2}}}$$m$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$cos$$\omega_{0}^{}$$t$$\mp$$$${\frac{k_{a}}{\sqrt{2}}}$$$$\widehat{m}$$$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$sin$$\omega_{0}^{}$$t

con - e + rispettivamente per ottenere un segnale BLU con banda superiore o inferiore. Con le costanti indicate, il segnale modulato BLU ha una potenza $\mathcal {P}$_x = 2 ^. (${\frac{k_{a}^{2}}{2}}$ ^. $\mathcal {P}$_M ^. ${\frac{1}{2}}$) = ${\frac{k_{a}^{2}}{2}}$$\mathcal {P}$_M (vedi 9.4.1), eguale a quella di un segnale AM-BLD in cui x_c(t) = k_am$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ e x_s(t) = 0.

I vantaggi di un tale metodo di modulazione sono subito evidenti: consente infatti di risparmiare banda, permettendo la trasmissione di piú messaggi in divisione di frequenza (FDM).