Prestazioni L-PSK

In questo caso il demodulatore ha una differente architettura, ed il decisore opera congiuntamente su entrambi i rami, per ottenere la stima del gruppo di log₂L bit associati ad una delle possibili fasi $\varphi_{k}^{}$ .

$\resizebox* {0.55\textwidth}{!}{\includegraphics{cap11/f10.11.ps}}$ $\resizebox* {0.3\textwidth}{!}{\includegraphics{cap11/f10.12.ps}}$

La decisione avviene calcolando $\widetilde{\varphi }_{k}^{}$ = arctan ${\frac{\sin \widetilde{\varphi }_{k}}{\cos \widetilde{\varphi }_{k}}}$ e stabilendo all'interno di quale regione di decisione cada la fase ricevuta $\widetilde{\varphi }_{k}^{}$ . All'aumentare del numero di livelli L, la potenza di rumore (che concorre alla probabilità di errore) diminuisce con la stessa legge di riduzione della banda, ovvero con il log₂L. Al contrario, la spaziatura tra le regioni di decisione diminuisce con legge lineare rispetto ad L; pertanto, l'aumento del numero di livelli produce un peggioramento della P_e. Senza approfondire i relativi conti, forniamo direttamente il risultato (con $\gamma$ = 0) della probabilità di errore sul simbolo,

P_{e_{L - PSK}} = erfc $\displaystyle \left\{\vphantom{ \sin \left( \frac{\pi }{L}\right) \sqrt{\frac{E_{b}}{N_{0}}\log _{2}L}}\right.$ sin $\displaystyle \left(\vphantom{ \frac{\pi }{L}}\right.$ $\displaystyle {\frac{\pi }{L}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{\pi }{L}}\right)$ $\displaystyle \sqrt{\frac{E_{b}}{N_{0}}\log _{2}L}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \sin \left( \frac{\pi }{L}\right) \sqrt{\frac{E_{b}}{N_{0}}\log _{2}L}}\right\}$

che rappresenta la probabilità di decidere di aver ricevuto un $\widehat{\varphi }_{k}^{}$ $\neq$ $\varphi_{k}^{}$ (diverso da quello trasmesso) e che, se P_e $\ll$ 1, è approssimata con la probabilità di invadere (a causa del rumore) una regione di decisione contigua.

Confrontando il risultato con quello per l'ASK, osserviamo che l'assenza del termine $\left(\vphantom{ 1-\frac{1}{L}}\right.$ 1 - ${\frac{1}{L}}$ $\left.\vphantom{ 1-\frac{1}{L}}\right)$ è dovuto alla ``circolarità'' della costellazione, il termine sin $\left(\vphantom{ \frac{\pi }{L}}\right.$ ${\frac{\pi }{L}}$ $\left.\vphantom{ \frac{\pi }{L}}\right)$ è un fattore che rappresenta il peggioramento all'aumentare di L, ed il log₂L sotto radice è il miglioramento dovuto alla riduzione di banda. Il risultato esposto è una approssimazione valida se P_e $\ll$ 1, e via via più accurata con L crescente.

$\begin{floatingfigure}{0.450000\textwidth} {\centering\begin{tabular}{c\vert c\v... ...ootnotesize 5.2}\\ \end{tabular}\footnotesize\par } \par ~ \end{floatingfigure}$

Esaminando la tabella per diversi valori di L, si trova (a parte il termine $\left(\vphantom{ 1-\frac{1}{L}}\right.$ 1 - ${\frac{1}{L}}$ $\left.\vphantom{ 1-\frac{1}{L}}\right)$ dell'L-ASK) il miglioramento di prestazioni in dB dell'L-PSK rispetto ad L-ASK, ovvero i dB di potenza risparmiata a parità di probabilità di errore. Il risultato (4-5 dB di miglioramento) ha portato a prediligere sempre il PSK rispetto all'ASK.

E' opportuno osservare che, qualora si desideri ottenere un valore di probabilità di errore per bit, questo è pari a

P_e $\displaystyle \left(\vphantom{ bit}\right.$ bit $\displaystyle \left.\vphantom{ bit}\right)$ = $\displaystyle {\frac{P_{e}\left( simbolo\right) }{\log _{2}L}}$

$\resizebox* {0.25\textwidth}{!}{\includegraphics{cap11/f10.13.ps}}$ $\resizebox* {0.6\textwidth}{!}{\includegraphics{cap11/f10.135.ps}}$