Teorema di Parseval

Stabilisce l'equivalenza di due rappresentazioni del segnale dal punto di vista energetico. La potenza, infatti, è calcolabile in modo simile in entrambi i domini del tempo e della frequenza, risultando

$$\mathcal {P}$$_x = $$\lim_{\Delta T\rightarrow \infty }^{}$$$${\frac{1}{\Delta T}}$$$$\int^{\frac{\Delta T}{2}}_{-\frac{\Delta T}{2}}$$$$\left\vert\vphantom{ x\left( t\right) }\right.$$x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ $$\left.\vphantom{ x\left( t\right) }\right\vert^{2}_{}$$dt = $$\sum^{\infty }_{n=-\infty }$$$$\left\vert\vphantom{ X_{n}}\right.$$X_n$$\left.\vphantom{ X_{n}}\right\vert^{2}_{}$$

Sviluppiamo i calcoli che danno luogo al risultato mostrato:

$$\mathcal {P}$$x	=	$$\lim_{\Delta T\rightarrow \infty }^{}$$$${\frac{1}{\Delta T}}$$$$\int^{\frac{\Delta T}{2}}_{-\frac{\Delta T}{2}}$$$$\left\vert\vphantom{ x\left( t\right) }\right.$$x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ $$\left.\vphantom{ x\left( t\right) }\right\vert^{2}_{}$$dt = $${\frac{1}{T}}$$$$\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}$$$$\left\vert\vphantom{ x\left( t\right) }\right.$$x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ $$\left.\vphantom{ x\left( t\right) }\right\vert^{2}_{}$$dt = $${\frac{1}{T}}$$$$\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}$$x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$x*$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$dt =
	=	$${\frac{1}{T}}$$$$\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}$$$$\left[\vphantom{ \sum _{n}X_{n}\, \hbox {e}^{j2\pi nFt}}\right.$$$$\sum_{n}^{}$$Xn ej2$\pi$nFt$$\left.\vphantom{ \sum _{n}X_{n}\, \hbox {e}^{j2\pi nFt}}\right]$$$$\left[\vphantom{ \sum _{m}X^{*}_{m}\, \hbox {e}^{-j2\pi mFt}}\right.$$$$\sum_{m}^{}$$X*m e-j2$\pi$mFt$$\left.\vphantom{ \sum _{m}X^{*}_{m}\, \hbox {e}^{-j2\pi mFt}}\right]$$dt = $$\sum_{n}^{}$$$$\sum_{m}^{}$$XnX*m$${\frac{1}{T}}$$$$\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}$$ej2$\pi$$\left(\vphantom{ n-m}\right.$n - m$\left.\vphantom{ n-m}\right)$Ftdt =
	=	$$\sum^{\infty }_{n=-\infty }$$XnX*n = $$\sum^{\infty }_{n=-\infty }$$$$\left\vert\vphantom{ X_{n}}\right.$$Xn$$\left.\vphantom{ X_{n}}\right\vert^{2}_{}$$ = $$\sum^{\infty }_{n=-\infty }$$M2n = $$\sum^{\infty }_{n=-\infty }$$$$\left(\vphantom{ R^{2}_{n}+I^{2}_{n}}\right.$$R2n + I2n$$\left.\vphantom{ R^{2}_{n}+I^{2}_{n}}\right)$$

Ortogonalità degli esponenziali complessi

Nei precedenti calcoli si è fatto uso del risultato

$${\frac{1}{T}}$$$$\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}$$e^{j2$\pi$$\left(\vphantom{ n-m}\right.$n - m$\left.\vphantom{ n-m}\right)$Ft}dt = $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{ccl} 0 & \hbox {con} & n\neq m\\ 1 & \hbox {con} & n=m \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccl} 0 & \hbox {con} & n\neq m\\ 1 & \hbox {con} & n=m \end{array}$$

che deriva dalla circostanza che la funzione integranda (per n $\neq$ m) è periodica con periodo uguale o sotto-multiplo di T, e quindi a valor medio nullo; per n = m invece essa vale e⁰ = 1, e dunque il risultato. Questo prende il nome di Proprietà di Ortogonalità degli esponenziali complessi, in base ai princìpi di algebra vettoriale forniti in appendice 2.4.1.

Spettro di Potenza per segnali periodici

In appendice (pag. ) si mostra come l'integrale

$$\left\Vert\vphantom{ x\left( t\right) }\right.$$x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ $$\left.\vphantom{ x\left( t\right) }\right\Vert^{2}_{}$$ = $${\frac{1}{T}}$$$$\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}$$x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)^{*}_{}$$dt

oltre a misurare la potenza del segnale periodico x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, ne misuri la norma quadratica da un punto di vista algebrico.

Tornando ad eseminare il risultato $\mathcal {P}$_x = $\sum^{\infty }_{n=-\infty }$$\left\vert\vphantom{ X_{n}}\right.$X_n$\left.\vphantom{ X_{n}}\right\vert^{2}_{}$ espresso dal teorema di Parseval, notiamo che $\left\vert\vphantom{ X_{n}}\right.$X_n$\left.\vphantom{ X_{n}}\right\vert^{2}_{}$ è la potenza di una singola componente armonica:

$$\mathcal {P}$$_n = $${\frac{1}{T}}$$$$\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}$$$$\left[\vphantom{ X_{n}\, \hbox {e}^{j2\pi nFt}}\right.$$X_n e^j2$\pi$nFt$$\left.\vphantom{ X_{n}\, \hbox {e}^{j2\pi nFt}}\right]$$$$\left[\vphantom{ X^{*}_{n}\, \hbox {e}^{-j2\pi nFt}}\right.$$X^*_n e^-j2$\pi$nFt$$\left.\vphantom{ X^{*}_{n}\, \hbox {e}^{-j2\pi nFt}}\right]$$dt = $${\frac{\left\vert X_{n}\right\vert ^{2}}{T}}$$$$\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}$$dt = $$\left\vert\vphantom{ X_{n}}\right.$$X_n$$\left.\vphantom{ X_{n}}\right\vert^{2}_{}$$

e quindi osserviamo che

La potenza totale $\mathcal {P}$_x di un segnale periodico è pari alla somma delle potenze delle sue componenti armoniche.

Si presti attenzione che il risultato è una diretta conseguenza dell'ortogonalità della base di rappresentazione. In generale, la potenza di una somma non è pari alla somma delle potenze^2.7; l'uguaglianza ha luogo solo nel caso di in cui gli addendi siano ortogonali.

La successione $\left\{\vphantom{ \mathcal{P}_{n}}\right.$$\mathcal {P}$_n$\left.\vphantom{ \mathcal{P}_{n}}\right\}$ = $\left\{\vphantom{ ...,\, \left\vert X_{-k}\right\vert ^{2},\, ...,\, \left\vert X_{0}\right\vert ^{2},\, ...,\, \left\vert X_{k}\right\vert ^{2},\, ...}\right.$..., $\left\vert\vphantom{ X_{-k}}\right.$X_-k$\left.\vphantom{ X_{-k}}\right\vert^{2}_{}$, ..., $\left\vert\vphantom{ X_{0}}\right.$X₀$\left.\vphantom{ X_{0}}\right\vert^{2}_{}$, ..., $\left\vert\vphantom{ X_{k}}\right.$X_k$\left.\vphantom{ X_{k}}\right\vert^{2}_{}$, ...$\left.\vphantom{ ...,\, \left\vert X_{-k}\right\vert ^{2},\, ...,\, \left\vert X_{0}\right\vert ^{2},\, ...,\, \left\vert X_{k}\right\vert ^{2},\, ...}\right\}$ rappresenta come la potenza totale si ripartisce tra le diverse armoniche a frequenza f = nF, e prende il nome di Spettro di Potenza del segnale x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$.

Osserviamo che necessariamente i termini $\mathcal {P}$_n = $\left\vert\vphantom{ X_{n}}\right.$X_n$\left.\vphantom{ X_{n}}\right\vert^{2}_{}$ risultano reali e positivi. Inoltre, se x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ è reale, risulta $\left\vert\vphantom{ X_{n}}\right.$X_n$\left.\vphantom{ X_{n}}\right\vert^{2}_{}$ = $\left\vert\vphantom{ X^{*}_{-n}}\right.$X^*_-n$\left.\vphantom{ X^{*}_{-n}}\right\vert^{2}_{}$ = $\left\vert\vphantom{ X_{-n}}\right.$X_-n$\left.\vphantom{ X_{-n}}\right\vert^{2}_{}$, e quindi si ottiene $\mathcal {P}$_n = $\mathcal {P}$_-n; pertanto un segnale reale è caratterizzato da un spettro di potenza pari.

Problema

Si determini lo spettro di potenza di un'onda quadra.

Soluzione

Essendo X_n = ${\frac{1}{2}}$sinc$\left(\vphantom{ \frac{n}{2}}\right.$${\frac{n}{2}}$ $\left.\vphantom{ \frac{n}{2}}\right)$, si ottiene $\left\{\vphantom{ \mathcal{P}_{n}}\right.$$\mathcal {P}$_n$\left.\vphantom{ \mathcal{P}_{n}}\right\}$ = $\left\{\vphantom{ \left\vert X_{n}\right\vert ^{2}}\right.$$\left\vert\vphantom{ X_{n}}\right.$X_n$\left.\vphantom{ X_{n}}\right\vert^{2}_{}$ $\left.\vphantom{ \left\vert X_{n}\right\vert ^{2}}\right\}$ = ${\frac{1}{4}}$$\left\{\vphantom{ \hbox {sinc}^{2}\left( \frac{n}{2}\right) }\right.$sinc²$\left(\vphantom{ \frac{n}{2}}\right.$${\frac{n}{2}}$ $\left.\vphantom{ \frac{n}{2}}\right)$ $\left.\vphantom{ \hbox {sinc}^{2}\left( \frac{n}{2}\right) }\right\}$.