Integrale di convoluzione

Consideriamo ancora lo stesso sistema fisico, al cui ingresso sia posto un generico segnale x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ che, grazie alla proprietà di setacciamento, rappresentiamo come scomposto in infiniti termini, ossia come somma integrale di impulsi centrati in $\tau$ (variabile) ed area x$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$d$\tau$ (infinitesima):

x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ = $$\int^{\infty }_{-\infty }$$x$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$d$$\tau$$ $$\delta$$$$\left(\vphantom{ t-\tau }\right.$$t - $$\tau$$ $$\left.\vphantom{ t-\tau }\right)$$

Questa espressione, formalmente simile alla (3.1), è equivalente alla proprietà di setacciamento, dato che $\delta$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ è una funzione pari. L'andamento della grandezza di uscita sarà il risultato della sovrapposizione di infinite risposte impulsive, ognuna relativa ad un diverso valore dell'ingresso:

y$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ = $$\int^{\infty }_{-\infty }$$x$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$ h$$\left(\vphantom{ t-\tau }\right.$$t - $$\tau$$ $$\left.\vphantom{ t-\tau }\right)$$ d$$\tau$$

in cui x$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$d$\tau$ è l'area degli impulsi che costituiscono l'ingresso, e h$\left(\vphantom{ t-\tau }\right.$t - $\tau$ $\left.\vphantom{ t-\tau }\right)$ è l'uscita all'istante t causata dall'impulso in ingresso centrato all'istante $\tau$. Il risultato ottenuto, formalmente simile a (3.2), prende il nome di integrale di convoluzione, viene indicato in forma simbolica da un asterisco (*), e gode della proprietà commutativa, ovvero

0.350000

y$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$*h$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ =

         = $\int^{\infty }_{-\infty }$x$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$ h$\left(\vphantom{ t-\tau }\right.$t - $\tau$ $\left.\vphantom{ t-\tau }\right)$ d$\tau$ = $\int^{\infty }_{-\infty }$h$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$ x$\left(\vphantom{ t-\tau }\right.$t - $\tau$ $\left.\vphantom{ t-\tau }\right)$ d$\tau$

La notazione con l'asterisco fa sì che ci si riferisca ad essa come al ``prodotto di convoluzione''. Notiamo come h$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ caratterizzi completamente il sistema fisico, in quanto permette di calcolarne l'uscita per un qualsiasi ingresso.