Processi Stazionari

Qualora p_X$\left(\vphantom{ x\left( t_{0}\right) }\right.$x$\left(\vphantom{ t_{0}}\right.$t₀$\left.\vphantom{ t_{0}}\right)$ $\left.\vphantom{ x\left( t_{0}\right) }\right)$ non dipenda da t₀, ma risulti p_X$\left(\vphantom{ x\left( t_{0}\right) }\right.$x$\left(\vphantom{ t_{0}}\right.$t₀$\left.\vphantom{ t_{0}}\right)$ $\left.\vphantom{ x\left( t_{0}\right) }\right)$ = p_X^{$\mathcal {T}$}$\left(\vphantom{ x}\right.$x$\left.\vphantom{ x}\right)$ per qualsiasi t₀ $\in$ $\left\{\vphantom{ \mathcal{T}}\right.$$\mathcal {T}$ $\left.\vphantom{ \mathcal{T}}\right\}$, il processo $\left\{\vphantom{ x\left( t,\theta \right) }\right.$x$\left(\vphantom{ t,\theta }\right.$t,$\theta$ $\left.\vphantom{ t,\theta }\right)$ $\left.\vphantom{ x\left( t,\theta \right) }\right\}$ è detto stazionario^5.21 in senso stretto. In tal caso tutte le medie di insieme non dipendono piú dal tempo: m_X^{$\left(\vphantom{ n}\right.$n$\left.\vphantom{ n}\right)$}$\left(\vphantom{ t_{0}}\right.$t₀$\left.\vphantom{ t_{0}}\right)$ = m_X^{$\left(\vphantom{ n}\right.$n$\left.\vphantom{ n}\right)$} per $\forall$t₀ $\in$ $\left\{\vphantom{ \mathcal{T}}\right.$$\mathcal {T}$ $\left.\vphantom{ \mathcal{T}}\right\}$.

D'altra parte, alcune (non tutte) medie di insieme m_X^{$\left(\vphantom{ n}\right.$n$\left.\vphantom{ n}\right)$}$\left(\vphantom{ t_{0}}\right.$t₀$\left.\vphantom{ t_{0}}\right)$ = E_$\Theta$$\left\{\vphantom{ x^{n}\left( t_{0},\theta \right) }\right.$xⁿ$\left(\vphantom{ t_{0},\theta }\right.$t₀,$\theta$ $\left.\vphantom{ t_{0},\theta }\right)$ $\left.\vphantom{ x^{n}\left( t_{0},\theta \right) }\right\}$ possono risultare indipendenti da t₀ anche se p_X$\left(\vphantom{ x\left( t_{0}\right) }\right.$x$\left(\vphantom{ t_{0}}\right.$t₀$\left.\vphantom{ t_{0}}\right)$ $\left.\vphantom{ x\left( t_{0}\right) }\right)$ non è stazionaria. In particolare, se le prime due medie di insieme m_X$\left(\vphantom{ t_{0}}\right.$t₀$\left.\vphantom{ t_{0}}\right)$ e m^{$\left(\vphantom{ 2}\right.$2$\left.\vphantom{ 2}\right)$}_X$\left(\vphantom{ t_{0}}\right.$t₀$\left.\vphantom{ t_{0}}\right)$ non dipendono da t₀, il processo $\left\{\vphantom{ x\left( t,\theta \right) }\right.$x$\left(\vphantom{ t,\theta }\right.$t,$\theta$ $\left.\vphantom{ t,\theta }\right)$ $\left.\vphantom{ x\left( t,\theta \right) }\right\}$ è detto stazionario in media ed in media quadratica, od anche stazionario in senso lato.

Supponiamo ora di suddividere il membro x$\left(\vphantom{ t,\theta _{i}}\right.$t,$\theta_{i}^{}$ $\left.\vphantom{ t,\theta _{i}}\right)$ in piú intervalli temporali, e di calcolare per ciascuno di essi le medie temporali, limitatamente al relativo intervallo. Nel caso in cui queste risultino uguali tra loro, e di conseguenza uguali alla media temporale m^{$\left(\vphantom{ n}\right.$n$\left.\vphantom{ n}\right)$}_X$\left(\vphantom{ \theta _{i}}\right.$$\theta_{i}^{}$ $\left.\vphantom{ \theta _{i}}\right)$, il membro è (individualmente) stazionario^5.22. Ovviamente, se tutti i membri sono individualmente stazionari, lo è anche il processo a cui appartengono.