Processi Ergodici

Questa importante sottoclasse di processi stazionari identifica la circostanza che ogni membro del processo è statisticamente rappresentativo di tutti gli altri. Ciò si verifica quando la densità di probabilità dei valori estratti da un singolo membro p_X$\left(\vphantom{ x/\theta _{i}}\right.$x/$\theta_{i}^{}$ $\left.\vphantom{ x/\theta _{i}}\right)$ è sempre la stessa, indipendentemente dal particolare $\theta_{i}^{}$, ottenendo in definitiva p_X$\left(\vphantom{ x/\theta _{i}}\right.$x/$\theta_{i}^{}$ $\left.\vphantom{ x/\theta _{i}}\right)$ = p_X^$\Theta$$\left(\vphantom{ x}\right.$x$\left.\vphantom{ x}\right)$ = p_X^{$\mathcal {T}$}$\left(\vphantom{ x}\right.$x$\left.\vphantom{ x}\right)$ indipendentemente dalla realizzazione e dall'istante. In questo caso le medie temporali m^{$\left(\vphantom{ n}\right.$n$\left.\vphantom{ n}\right)$}_X$\left(\vphantom{ \theta _{i}}\right.$$\theta_{i}^{}$ $\left.\vphantom{ \theta _{i}}\right)$, calcolabili come momenti sulla singola realizzazione come illustrato in 5.3.2, sono identiche per tutti i membri^5.23 $\theta_{i}^{}$, ed identiche anche alle medie di insieme m^{$\left(\vphantom{ n}\right.$n$\left.\vphantom{ n}\right)$}_X$\left(\vphantom{ t_{0}}\right.$t₀$\left.\vphantom{ t_{0}}\right)$ calcolate per un qualunque istante. Enunciamo pertanto la definizione:

Un processo stazionario è ergodico se la media temporale calcolata su di una qualunque realizzazione del processo, coincide con la media di insieme relativa ad una variabile aleatoria estratta ad un istante qualsiasi (per la stazionarietà) da una realizzazione qualsiasi (per l'ergodicità).

Esempio: la Potenza di Segnale

Mostriamo come il calcolo della potenza di un membro di un processo ergodico sia equivalente a quello del momento di 2^o ordine del processo:

$$\mathcal {P} \left(\vphantom{ \theta }\right. \theta \left.\vphantom{ \theta }\right) \overline{x^{2}\left( \theta \right) } \lim_{T\rightarrow \infty }^{} {\frac{1}{T}} \int_{-T/2}^{T/2} \left(\vphantom{ \tau ,\theta }\right. \tau \theta \left.\vphantom{ \tau ,\theta }\right) \tau \int_{-\infty }^{\infty } \left(\vphantom{ x/\theta }\right. \theta \left.\vphantom{ x/\theta }\right)$$ =

$$\int_{-\infty }^{\infty } \left(\vphantom{ x}\right. \left.\vphantom{ x}\right) \left(\vphantom{ 2}\right. \left.\vphantom{ 2}\right) \left\{\vphantom{ x^{2}}\right. \left.\vphantom{ x^{2}}\right\} \mathcal {P}$$ =

Questo risultato mostra come sia possibile calcolare la potenza di una realizzazione di un processo, senza conoscerne la forma d'onda.

In particolare osserviamo che, essendo $\mathcal {P}$_X = m_X^{$\left(\vphantom{ 2}\right.$2$\left.\vphantom{ 2}\right)$} = $\sigma_{x}^{2}$ + $\left(\vphantom{ m_{x}}\right.$m_x$\left.\vphantom{ m_{x}}\right)^{2}_{}$, per i segnali a media nulla (m_x = 0) si ottiene $\mathcal {P}$_X = $\sigma_{x}^{2}$ ed il valore efficace $\sqrt{\mathcal{P}_{X}}$ coincide con la deviazione standard $\sigma_{x}^{}$. La radice della potenza è inoltre spesso indicata come valore RMS (ROOT MEAN SQUARE), definito come x_RMS = $\sqrt{\overline{x^{2}\left( t\right) }}$, ovvero la radice della media quadratica (nel tempo). Se il segnale è a media nulla, x_RMS coincide con il valore efficace; se x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ è membro di un processo ergodico a media nulla, x_RMS coincide con la deviazione standard.