SNR di Quantizzazione

0.300000

Trattiamo ora della questione, lasciata in sospeso, di come scegliere il numero M di bit con cui rappresentare i campioni di un segnale, ovvero della risoluzione con cui realizzare il dispositivo già indicato in 4.1.3 come quantizzatore. Tale processo consiste nel rappresentare i valori x in ingresso mediante un insieme finito di L = 2^M valori quantizzati

x_q = x + $$\epsilon_{q}^{}$$

introducendo dunque un errore $\epsilon_{q}^{}$.

L'obiettivo

Figura: Processo di quantizzazione per segnali a distribuzione di ampiezza uniforme

è quello di scegliere L in modo da mantenere il rapporto segnale rumore di quantizzazione SNR_q migliore di un valore desiderato. Dato che l'SNR_q è pari al rapporto tra le potenze del segnale $\mathcal {P}$_x e del rumore $\mathcal {P}$_$\epsilon$, procediamo nel determinare queste ultime due, con l'aiuto del grafico mostrato in Fig. 5.1.

Adottiamo l'ipotesi semplificativa che i valori in ingresso al campionatore abbiano origine da un processo ergodico a media nulla, e siano rappresentati da una v.a. con densità di probabilità uniforme p_X(x) = ${\frac{1}{\Delta _{x}}}$rect_{$\Delta_{x}$}(x); pertanto la potenza dei campioni, pari alla varianza della v.a., risulterà

$$\mathcal {P}$$_x = $$\sigma_{x}^{2}$$ = $${\frac{\Delta _{x}^{2}}{12}}$$

Lo stesso intervallo di valori di ingresso $\pm$${\frac{\Delta _{x}}{2}}$ è suddiviso dal quantizzatore in L intervalli I_k di eguale ampiezza $\Delta_{q}^{}$ = ${\frac{\Delta _{x}}{\left( L-1\right) }}$, centrati sui valori x_k = k$\Delta_{q}^{}$ - ${\frac{\Delta _{x}}{2}}$, con k = 0, 1, 2,..., L - 1. Tutti i valori di ingresso x, che cadono all'interno di I_k, ovvero tali che x_k - ${\frac{\Delta _{q}}{2}}$ $\leq$ x < x_k + ${\frac{\Delta _{q}}{2}}$, sono codificati con l'intero k, rappresentato in binario da una parola di M = log₂L bit.

Il componente che, a partire dai valori quantizzati, ricostruisce il segnale x_q^o$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ da inviare al filtro di restituzione, tipicamente associa ad ogni intero k il valore centrale x_q = x_k dell'intervallo di quantizzazione, commettendo cosí un errore $\epsilon_{q}^{}$ = x_q - x, di entità limitata entro l'intervallo $\pm$${\frac{\Delta _{q}}{2}}$. Di nuovo, si suppone che anche $\epsilon_{q}^{}$ sia una v.a. uniformemente distribuita tra $\pm$${\frac{\Delta _{q}}{2}}$, ed indipendente^5.25 da x_k; pertanto, la potenza della componente di errore è anche qui pari alla varianza, e cioè

$$\mathcal {P}$$_$\epsilon$ = $$\sigma_{\epsilon }^{2}$$ = $${\frac{\Delta _{q}^{2}}{12}}$$ = $${\textstyle\frac{1}{12}}$$$$\left(\vphantom{ \frac{\Delta _{x}}{L-1}}\right.$$$${\frac{\Delta _{x}}{L-1}}$$ $$\left.\vphantom{ \frac{\Delta _{x}}{L-1}}\right)^{2}_{}$$

Siamo finalmente in grado di valutare l'SNR di quantizzazione:

SNR_q = $${\frac{\mathcal{P}_{x}}{\mathcal{P}_{\epsilon }}}$$ = $${\frac{\Delta _{x}^{2}}{12}}$$12$$\left(\vphantom{ \frac{L-1}{\Delta _{x}}}\right.$$$${\frac{L-1}{\Delta _{x}}}$$ $$\left.\vphantom{ \frac{L-1}{\Delta _{x}}}\right)^{2}_{}$$ = $$\left(\vphantom{ L-1}\right.$$L - 1$$\left.\vphantom{ L-1}\right)^{2}_{}$$ $$\cong$$ L²

in cui l'ultima approssimazione ha validità nel caso evidente in cui L $\gg$ 1. Il risultato mostra che l'SNR_q cresce in modo quadratico con l'aumentare dei livelli, ovvero se L raddoppia SNR_q quadruplica. Ricorrendo alla notazione in decibel^5.26 per l'SNR, otteniamo il risultato $\left.\vphantom{ SNR_{q}\left( L\right) }\right.$SNR_q$\left(\vphantom{ L}\right.$L$\left.\vphantom{ L}\right)$ $\left.\vphantom{ SNR_{q}\left( L\right) }\right\vert _{dB}^{}$ = 10log₁₀L² = 20log₁₀L e, ricordando che L = 2^M, si ottiene

$$\left.\vphantom{ SNR_{q}\left( M\right) }\right.$$SNR_q$$\left(\vphantom{ M}\right.$$M$$\left.\vphantom{ M}\right)$$ $$\left.\vphantom{ SNR_{q}\left( M\right) }\right\vert _{dB}^{}$$ = M ^. 10log₁₀2 $$\simeq$$ 6 ^. M    dB

dato che log₁₀2 $\simeq$ 0.3. In modo simile, valutiamo il miglioramento in dB ottenibile aumentando di uno il numero di bit per ogni campione, ovvero raddoppiando il numero di livelli: $\left.\vphantom{ SNR_{q}\left( 2L\right) }\right.$SNR_q$\left(\vphantom{ 2L}\right.$2L$\left.\vphantom{ 2L}\right)$ $\left.\vphantom{ SNR_{q}\left( 2L\right) }\right\vert _{dB}^{}$ = 20log₁₀2L = 20log₁₀L + 20log₁₀2 $\cong$ $\left.\vphantom{ SNR_{q}\left( L\right) }\right.$SNR_q$\left(\vphantom{ L}\right.$L$\left.\vphantom{ L}\right)$ $\left.\vphantom{ SNR_{q}\left( L\right) }\right\vert _{dB}^{}$ + 6 dB. Pertanto ogni bit in più provoca un miglioramento di 6 dB per l'SNR_q.

Consideriamo ora cosa accade se il segnale in ingresso x ha una dinamica minore di quanto previsto: in tal caso $\sigma_{x}^{2}$ si riduce, mentre $\sigma_{\epsilon }^{2}$ = ${\frac{1}{12}}$$\left(\vphantom{ \frac{\Delta _{x}}{L-1}}\right.$${\frac{\Delta _{x}}{L-1}}$ $\left.\vphantom{ \frac{\Delta _{x}}{L-1}}\right)^{2}_{}$ non cambia, e dunque SNR_q peggiora come se avessimo ridotto i livelli.