Esempi

Processo armonico.

E' definito in base ad una sua generica realizzazione

x$\left(\vphantom{ t,\theta }\right.$t,$\theta$ $\left.\vphantom{ t,\theta }\right)$ = Acos$\left(\vphantom{ 2\pi f_{0}t+\theta }\right.$2$\pi$f₀t + $\theta$ $\left.\vphantom{ 2\pi f_{0}t+\theta }\right)$

che, se il parametro $\theta$ è una variabile aleatoria uniformemente distribuita tra - $\pi$ e - $\pi$ (ossia p_$\Theta$$\left(\vphantom{ \theta }\right.$$\theta$ $\left.\vphantom{ \theta }\right)$ = ${\frac{1}{2\pi }}$rect_2$\pi$$\left(\vphantom{ \theta }\right.$$\theta$ $\left.\vphantom{ \theta }\right)$), descrive un processo ergodico.

Sappiamo che una sua realizzazione (ad esempio quella con $\theta$ = 0) ha una densità di potenza $\mathcal {P}$_x$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ = ${\frac{A^{2}}{4}}$$\left[\vphantom{ \delta \left( f-f_{0}\right) +\delta \left( f+f_{0}\right) }\right.$$\delta$$\left(\vphantom{ f-f_{0}}\right.$f - f₀$\left.\vphantom{ f-f_{0}}\right)$ + $\delta$$\left(\vphantom{ f+f_{0}}\right.$f + f₀$\left.\vphantom{ f+f_{0}}\right)$ $\left.\vphantom{ \delta \left( f-f_{0}\right) +\delta \left( f+f_{0}\right) }\right]$. Possiamo quindi ottenere l'autocorrelazione

0.280000

senza dover svolgere l'integrale:

$$\mathcal {R}$$_x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ = $$\mathcal {F}$$^-1$$\left\{\vphantom{ \mathcal{P}_{x}\left( f\right) }\right.$$$$\mathcal {P}$$_x$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ $$\left.\vphantom{ \mathcal{P}_{x}\left( f\right) }\right\}$$ = $${\frac{A^{2}}{4}}$$$$\left[\vphantom{ e^{j2\pi f_{0}t}+e^{-j2\pi f_{0}t}}\right.$$e^j2$\pi$f₀t + e^{-j2$\pi$f₀t}$$\left.\vphantom{ e^{j2\pi f_{0}t}+e^{-j2\pi f_{0}t}}\right]$$ = $${\frac{A^{2}}{2}}$$cos$$\left(\vphantom{ 2\pi f_{0}t}\right.$$2$$\pi$$f₀t$$\left.\vphantom{ 2\pi f_{0}t}\right)$$

Il risultato trovato conferma che l'autocorrelazione di un segnale periodico è periodica; riflettiamo dunque sulla circostanza che anche un seno, od un coseno con qualunque altra fase, avrebbe avuto la stessa $\mathcal {R}$_x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$. Ciò è d'altra parte evidente, avendo tutti questi segnali uguali densità $\mathcal {P}$_x$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$.

Processo gaussiano bianco limitato in banda.

Il processo n$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ è chiamato bianco perché costante in frequenza, e descritto da una densità di potenza pari a

0.250000

 

 

$$\mathcal {P}$$_n$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ = $${\frac{N_{0}}{2}}$$rect_2W$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$

in cui W è l'occupazione di banda a frequenze positive. In tali ipotesi otteniamo

$$\mathcal {R}$$_n$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ = $$\mathcal {F}$$^-1$$\left\{\vphantom{ \mathcal{P}_{n}\left( f\right) }\right.$$$$\mathcal {P}$$_n$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ $$\left.\vphantom{ \mathcal{P}_{n}\left( f\right) }\right\}$$ = N₀Wsinc$$\left(\vphantom{ 2Wt}\right.$$2Wt$$\left.\vphantom{ 2Wt}\right)$$

In particolare, campioni presi a distanza T_c = 1/2W sono incorrelati (ed essendo il processo gaussiano anche statisticamente indipendenti); questo risultato giustifica, almeno da un punto di vista teorico, una ipotesi che viene spesso fatta: quella di trovare sovrapposti ai campioni di segnale, dei campioni di rumore statisticamente indipendenti.

All'aumentare di W, $\mathcal {R}$_n$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ tende a zero più rapidamente, cosicchè il rumore si mantiene correlato per un tempo sempre minore, ovvero due campioni estratti ad una stessa distanza t hanno una correlazione sempre minore. Un risultato simile vale anche più in generale, in quanto l'autocorrelazione $\mathcal {R}$_x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ di un qualsiasi processo (tranne nel caso periodico, riconducibile ad una combinazione di processi armonici) tende a 0 con t $\rightarrow$ $\infty$, ovvero da un certo t in poi la correlazione è trascurabile.

Onda PAM.

Abbiamo già descritto un generico segnale numerico come una somma di repliche di una funzione g$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, con ampiezze a_n rappresentative dei valori da trasmettere:

x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ = $$\sum_{n=-\infty }^{\infty }$$a_ng$$\left(\vphantom{ t-nT+\theta }\right.$$t - nT + $$\theta$$ $$\left.\vphantom{ t-nT+\theta }\right)$$

La presenza della variabile aleatoria $\theta$ a distribuzione uniforme tra $\pm$${\frac{T}{2}}$ (per cui p_$\Theta$$\left(\vphantom{ \theta }\right.$$\theta$ $\left.\vphantom{ \theta }\right)$ = ${\frac{1}{T}}$rect_T$\left(\vphantom{ \theta }\right.$$\theta$ $\left.\vphantom{ \theta }\right)$), rende x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ un processo ergodico.

Si mostrerà in appendice 7.9.2 che, nelle ipotesi in cui le ampiezze a_n siano determinazioni di variabili aleatorie indipendenti ed identicamente distribuite, a media nulla e varianza $\sigma_{A}^{2}$, l'autocorrelazione di x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ vale $\mathcal {R}$_x$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$ = $\sigma_{A}^{2}$${\frac{\mathcal{R}_{G}\left( \tau \right) }{T}}$ in cui $\mathcal {R}$_G$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$ è l'autocorrelazione di g$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, e dunque

$$\mathcal {P}$$_x$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ = $$\sigma_{A}^{2}$$$${\frac{\mathcal{E}_{G}\left( f\right) }{T}}$$

Osserviamo innanzitutto che è per questa via che si sono caratterizzate le densità di potenza proprie dei codici di linea. Limitandoci a voler interpretare il risultato, notiamo che $\mathcal {E}$_G$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ è la densità di energia di una singola replica di g$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$. La sua ripetizione, con periodo T, fornisce una densità di potenza media ${\frac{\mathcal{E}_{G}\left( f\right) }{T}}$. Se ogni replica di g$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ è moltiplicata per una v.a. indipendente a media nulla e varianza (potenza) $\sigma_{A}^{2}$, la densità di potenza $\mathcal {P}$_x$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ aumenta di egual misura. Un'ultima avvertenza riguarda il fatto che, se gli a_n non sono indipendenti, il risultato è più complesso (vedi appendice 7.9.2).