Filtro di Hilbert

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Il filtro di Hilbert è definito da una risposta in frequenza

H_{$\mathcal {H}$}$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ = - j ^. sgn(f )

ed in in figura è mostrato l'andamento costante del modulo $\left\vert\vphantom{ H_{\mathcal{H}}\left( f\right) }\right.$H_{$\mathcal {H}$}$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ $\left.\vphantom{ H_{\mathcal{H}}\left( f\right) }\right\vert$ = 1, e quello della fase $\angle$H_{$\mathcal {H}$}$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ che passa da ${\frac{\pi }{2}}$ per f < 0 a - ${\frac{\pi }{2}}$ per f > 0. Il risultato del passaggio di un segnale x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ attraverso^8.11

il filtro di Hilbert è un un secondo segnale, identificato con la trasformata di Hilbert del primo, indicato come $\widehat{x}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = $\mathcal {H}$$\left\{\vphantom{ x\left( t\right) }\right.$x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ $\left.\vphantom{ x\left( t\right) }\right\}$, ed il cui andamento in frequenza ha espressione

$$\widehat{X}$$$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ = $$\mathcal {F}$$$$\left\{\vphantom{ \widehat{x}\left( t\right) }\right.$$$$\widehat{x}$$$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ $$\left.\vphantom{ \widehat{x}\left( t\right) }\right\}$$ = H_{$\mathcal {H}$}$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$X$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ = - j ^. sgn(f ) ^. X$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$

ossia differisce da X$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ per uno sfasamento di $\mp$${\frac{\pi }{2}}$ per frequenze rispettivamente positive o negative.

Senza soffermarci ora sulle proprietà^8.12 della trasformata di Hilbert, forniamo direttamente un risultato^8.13 necessario per proseguire: $\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} \mathcal{H}\left\{ x_{c}\left( t\right) \co... ...mega _{0}t\right\} =-x_{s}\left( t\right) \cos \omega _{0}t \end{array}}\right.$$\begin{array}{l} \mathcal{H}\left\{ x_{c}\left( t\right) \cos \omega _{0}t\rig... ... \sin \omega _{0}t\right\} =-x_{s}\left( t\right) \cos \omega _{0}t \end{array}$ che ci permette di esprimere la trasformata di Hilbert di un segnale modulato. Quest'ultima, assieme all'espressione di x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ in funzione di x_c$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ ed x_s$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, costituisce un sistema di due equazione in due incognite:

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} x\left( t\right) =x_{c}\left( ... ...t) \sin \omega _{0}t+x_{s}\left( t\right) \cos \omega _{0}t \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} x\left( t\right) =x_{c}\left( t\right) \cos \ome... ...( t\right) \sin \omega _{0}t+x_{s}\left( t\right) \cos \omega _{0}t \end{array}$$

Il sistema può essere risolto^8.14, permettendo in definitiva di esprimere le componenti analogiche di bassa frequenza in termini di x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ e di $\widehat{x}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$:

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$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} x_{c}\left( t\right) =x\left( ... ...right) \cos \omega _{0}t-x\left( t\right) \sin \omega _{0}t \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} x_{c}\left( t\right) =x\left( t\right) \cos \ome... ...left( t\right) \cos \omega _{0}t-x\left( t\right) \sin \omega _{0}t \end{array}$$

Pertanto le componenti analogiche di bassa frequenza possono essere estratte direttamente da x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, utilizzando un filtro di Hilbert per ottenere $\widehat{x}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, e combinando i due segnali per mezzo di oscillatori in quadratura. Infine, x_c$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ e x_s$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ permettono di risalire alle modulazioni di ampiezza ed angolare:

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} a\left( t\right) =\left\vert \... ...\arctan \frac{x_{s}\left( t\right) }{x_{c}\left( t\right) } \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} a\left( t\right) =\left\vert \underline{x}\left(... ...right) =\arctan \frac{x_{s}\left( t\right) }{x_{c}\left( t\right) } \end{array}$$

Prima di procedere a calcolare $\mathcal {P}$_{$\underline{x}$}$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$, occorre introdurre l'ulteriore concetto di segnale analitico.