Condizioni per $\underline{x}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ reale

Data la rilevanza dei segnali con inviluppo complesso ad una sola componente, determiniamo quali condizioni si debbano verificare per dar luogo ad una simile circostanza, iniziando da un esempio.

Filtro passa banda ideale

E' descritto da una risposta in frequenza H$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ nulla ovunque, tranne che negli intervalli di frequenze f₀ - W $\leq$ $\left\vert\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right\vert$ $\leq$ f₀ + W dove ha valore unitario.

0.300000

 

Pertanto risulta H$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ = rect_2W$\left(\vphantom{ f-f_{0}}\right.$f - f₀$\left.\vphantom{ f-f_{0}}\right)$ + rect_2W$\left(\vphantom{ f+f_{0}}\right.$f + f₀$\left.\vphantom{ f+f_{0}}\right)$, da cui si ottiene facilmente

h$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$	=	$$\mathcal {F}$$-1$$\left\{\vphantom{ H\left( f\right) }\right.$$H$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ $$\left.\vphantom{ H\left( f\right) }\right\}$$ = 2Wsinc$$\left(\vphantom{ 2Wt}\right.$$2Wt$$\left.\vphantom{ 2Wt}\right)$$$$\left(\vphantom{ e^{j2\pi f_{0}t}+e^{-j2\pi f_{0}t}}\right.$$ej2$\pi$f0t + e-j2$\pi$f0t$$\left.\vphantom{ e^{j2\pi f_{0}t}+e^{-j2\pi f_{0}t}}\right)$$ =
	=	4Wsinc$$\left(\vphantom{ 2Wt}\right.$$2Wt$$\left.\vphantom{ 2Wt}\right)$$cos 2$$\pi$$f0t

D'altra parte, l'andamento di H$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ è quello tipico dei segnali modulati, e quindi per h$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ vale la sua rappresentazione in termini di inviluppo complesso $\underline{h}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = h_c$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ + jh_s$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, per cui possiamo scrivere

h$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ = h_c$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$cos 2$$\pi$$f₀t - h_s$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$sin 2$$\pi$$f₀t

Confrontando questa espressione con quella trovata prima, si osserva che deve necessariamente risultare h_s$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = 0 ed h_c$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = 4W${\frac{\sin 2\pi Wt}{2\pi Wt}}$, per cui $\underline{h}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ è reale.

Simmetria coniugata attorno ad f₀

Il filtro passa banda ideale presenta $\underline{h}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ reale, in quanto $\underline{H}$$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ = H⁺$\left(\vphantom{ f+f_{0}}\right.$f + f₀$\left.\vphantom{ f+f_{0}}\right)$ = rect_2W$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ esibisce simmetria coniugata attorno all'origine. E' proprio questa la condizione cercata, che ci permette di enunciare

Un segnale modulato x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ possiede un inviluppo complesso $\underline{x}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ reale, se lo spettro di quest'ultimo $\underline{X}$$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ ha simmetria coniugata attorno all'origine $\underline{X}$$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ = $\underline{X}^{*}_{}$$\left(\vphantom{ -f}\right.$ - f$\left.\vphantom{ -f}\right)$, ovvero il segnale analitico X⁺$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ ha simmetria coniugata attorno ad f₀: X⁺$\left(\vphantom{ f_{0}+\phi }\right.$f₀ + $\phi$ $\left.\vphantom{ f_{0}+\phi }\right)$ = $\left[\vphantom{ X^{+}\left( f_{0}-\phi \right) }\right.$X⁺$\left(\vphantom{ f_{0}-\phi }\right.$f₀ - $\phi$ $\left.\vphantom{ f_{0}-\phi }\right)$ $\left.\vphantom{ X^{+}\left( f_{0}-\phi \right) }\right]^{*}_{}$ ( $\left\vert\vphantom{ \phi }\right.$$\phi$ $\left.\vphantom{ \phi }\right\vert$ < W).

In altre parole, $\underline{x}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = x_c$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ se X⁺$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ ha modulo pari e fase dispari rispetto ad f₀.