Filtraggio

0.300000

Poniamoci ora nelle condizioni generali di un segnale x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ che attraversa un filtro h$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, che per entrambi valgano le condizioni di limitazione in banda, e che si adotti una stessa f₀ di riferimento. Anche il segnale in uscita y$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ è dello stesso tipo, e come mostriamo ora, il suo inviluppo complesso risulta $\underline{y}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = ${\frac{1}{2}}$$\underline{x}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$*$\underline{h}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$.

Per dimostrare il risultato, mostriamo che il segnale analitico in uscita vale y⁺$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = x⁺$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$*h⁺$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$. Infatti^8.19:

x⁺$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$*h⁺$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ = $$\left[\vphantom{ x*h_{fp}}\right.$$x*h_fp$$\left.\vphantom{ x*h_{fp}}\right]$$*$$\left[\vphantom{ h*h_{fp}}\right.$$h*h_fp$$\left.\vphantom{ h*h_{fp}}\right]$$ = $$\left[\vphantom{ x*h}\right.$$x*h$$\left.\vphantom{ x*h}\right]$$*$$\left[\vphantom{ h_{fp}*h_{fp}}\right.$$h_fp*h_fp$$\left.\vphantom{ h_{fp}*h_{fp}}\right]$$ = y*h_fp = y⁺

in cui h_fp$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ è la risposta impulsiva del filtro necessario ad estrarre il segnale analitico. Non resta ora che mostrare lo sviluppo per il risultato anticipato:

$${\textstyle\frac{1}{2}}$$$$\underline{x}$$$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$*$$\underline{h}$$$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$	=	$${\textstyle\frac{1}{2}}$$$$\underline{x}$$$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$*$$\underline{h}$$$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ = $${\textstyle\frac{1}{2}}$$$$\left[\vphantom{ 2x^{+}\left( t\right) e^{-j\omega _{0}t}}\right.$$2x+$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$e-j$\omega_{0}$t$$\left.\vphantom{ 2x^{+}\left( t\right) e^{-j\omega _{0}t}}\right]$$*$$\left[\vphantom{ 2h^{+}\left( t\right) e^{-j\omega _{0}t}}\right.$$2h+$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$e-j$\omega_{0}$t$$\left.\vphantom{ 2h^{+}\left( t\right) e^{-j\omega _{0}t}}\right]$$ =
	=	2$$\int_{-\infty }^{\infty }$$x+$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$e-j$\omega_{0}$$\tau$h+$$\left(\vphantom{ t-\tau }\right.$$t - $$\tau$$ $$\left.\vphantom{ t-\tau }\right)$$e-j$\omega_{0}$$\left(\vphantom{ t-\tau }\right.$t - $\tau$ $\left.\vphantom{ t-\tau }\right)$d$$\tau$$ =
	=	2e-j$\omega_{0}$t$$\int_{-\infty }^{\infty }$$x+$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$h+$$\left(\vphantom{ t-\tau }\right.$$t - $$\tau$$ $$\left.\vphantom{ t-\tau }\right)$$d$$\tau$$ = 2e-j$\omega_{0}$ty+$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ = $$\underline{y}$$$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$

Deriviamo infine le espressioni di y_c$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ ed y_s$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ in funzione delle C.A. di B.F. di x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$:

$$\underline{y}$$ = $${\textstyle\frac{1}{2}}$$$$\underline{x}$$*$$\underline{h}$$ = $${\textstyle\frac{1}{2}}$$$$\left[\vphantom{ x_{c}+jx_{s}}\right.$$x_c + jx_s$$\left.\vphantom{ x_{c}+jx_{s}}\right]$$*$$\left[\vphantom{ h_{c}+jh_{s}}\right.$$h_c + jh_s$$\left.\vphantom{ h_{c}+jh_{s}}\right]$$ = $${\textstyle\frac{1}{2}}$$$$\left[\vphantom{ x_{c}*h_{c}-x_{s}*h_{s}}\right.$$x_c*h_c - x_s*h_s$$\left.\vphantom{ x_{c}*h_{c}-x_{s}*h_{s}}\right]$$ + j$${\textstyle\frac{1}{2}}$$$$\left[\vphantom{ x_{s}*h_{c}+x_{c}*h_{s}}\right.$$x_s*h_c + x_c*h_s$$\left.\vphantom{ x_{s}*h_{c}+x_{c}*h_{s}}\right]$$

e dunque:

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{c} y_{c}\left( t\right) =\frac{1}... ...right) +x_{c}\left( t\right) *h_{s}\left( t\right) \right] \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} y_{c}\left( t\right) =\frac{1}{2}\left[ x_{c}\le... ...left( t\right) +x_{c}\left( t\right) *h_{s}\left( t\right) \right] \end{array}$$

 

Intermodulazione tra C.A. di B.F.

 

0.300000

Osservando il risultato ottenuto, notiamo come sia y_c$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ che y_s$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ dipendano in generale da entrambe x_c$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ e x_s$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$: questo fenomeno prende il nome di intermodulazione tra componenti analogiche di bassa frequenza, ed è fonte di una distorsione ineliminabile in banda base. Infatti, le informazioni contenute in x_c$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ ed x_s$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ sono ora mescolate in modo tale che, anche disponendo sia di y_c$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ che di y_s$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, non possono essere separate. Gli unici casi in cui ciò non si verifica sono relativi all'evenienza che $\underline{x}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ oppure $\underline{h}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ presentino una sola delle due C.A. di B.F., ossia almeno uno dei due sia solo reale o solo immaginario.

Equalizzazione

Ad esempio, se $\underline{h}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = h_c$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, si ottiene $\left\{\vphantom{ \begin{array}{c} y_{c}\left( t\right) =\frac{1}{2}x_{c}\left... ...ht) =\frac{1}{2}x_{s}\left( t\right) *h_{c}\left( t\right) \end{array}}\right.$$\begin{array}{c} y_{c}\left( t\right) =\frac{1}{2}x_{c}\left( t\right) *h_{c}\... ...t( t\right) =\frac{1}{2}x_{s}\left( t\right) *h_{c}\left( t\right) \end{array}$ e le componenti trasmesse x_c$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ e x_s$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ possono essere ri-ottenute a partire da y_c$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ e y_s$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ mediante un procedimento di equalizzazione, che consiste nell'utilizzo di un filtro g_eq$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ la cui risposta in frequenza risulta G_eq$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ = 1/H_c$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$, permettendo di ottenere $\left\{\vphantom{ \begin{array}{c} x_{c}\left( t\right) =2y_{c}\left( t\right)... ...ft( t\right) =2y_{s}\left( t\right) *g_{eq}\left( t\right) \end{array}}\right.$$\begin{array}{c} x_{c}\left( t\right) =2y_{c}\left( t\right) *g_{eq}\left( t\r... ...x_{s}\left( t\right) =2y_{s}\left( t\right) *g_{eq}\left( t\right) \end{array}$.