Ricevitore a PLL

In (9.2.1.3) si è già mostrato l'uso del circuito PLL per l'aggancio della fase della portante di modulazione. Lo stesso schema può essere usato per inseguire l'andamento temporale della fase di una portante modulata angolarmente, ottenendo in tal modo l'informazione desiderata. La figura che segue riporta lo schema generale di un PLL, in cui il VCO genera un segnale pari a sin$\left(\vphantom{ \omega _{0}t+\theta _{o}\left( t\right) }\right.$$\omega_{0}^{}$t + $\theta_{o}^{}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ $\left.\vphantom{ \omega _{0}t+\theta _{o}\left( t\right) }\right)$, con $\theta_{o}^{}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = k_v$\int_{-\infty }^{t}$v_o($\tau$)d$\tau$, mentre il segnale ricevuto ha la forma x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = cos$\left(\vphantom{ \omega _{0}t+\theta _{i}(t)}\right.$$\omega_{0}^{}$t + $\theta_{i}^{}$(t)$\left.\vphantom{ \omega _{0}t+\theta _{i}(t)}\right)$.

Lo schema può essere analizzato con i metodi dei controlli automatici, in quanto rappresenta un sistema che tenta di mantenere nullo l'errore sin$\Delta$$\theta$, con $\Delta$$\theta$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = $\theta_{i}^{}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ - $\theta_{o}^{}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$; l'analisi si basa quindi sulla linearizzazione sin$\Delta$$\theta$ $\simeq$ $\Delta$$\theta$, valida per $\Delta$$\theta$ piccolo.

0.400000

L'analisi di Laplace fornisce allora il risultato

$$\Theta_{o}^{}$$(s) = $${\frac{k_{c}k_{v}H(s)}{s+k_{c}k_{v}H(s)}}$$$$\Theta_{i}^{}$$(s)

che, antitrasformato, permette di esprimere $\theta_{o}^{}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ (fase del VCO) come una versione filtrata della fase della portante modulata $\theta_{i}^{}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, da parte della funzione di trasferimento ad anello chiuso

$$\left.\vphantom{ \frac{k_{c}k_{v}H(s)}{s+k_{c}k_{v}H(s)}}\right.$$$${\frac{k_{c}k_{v}H(s)}{s+k_{c}k_{v}H(s)}}$$ $$\left.\vphantom{ \frac{k_{c}k_{v}H(s)}{s+k_{c}k_{v}H(s)}}\right\vert _{s=j2\pi f}^{}$$

Inoltre, dato che il VCO produce $\theta_{o}^{}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = k_v$\int_{-\infty }^{t}$v_o($\tau$)d$\tau$, si riconosce subito che l'uscita v_o$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ del filtro di loop H(s) corrisponde alla ricostruzione del messaggio modulante m$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ nel caso di modulazione FM. Pertanto, l'uscita del filtro di loop del PLL realizza la demodulazione di frequenza.