Simmetria Coniugata

I coefficienti della serie di Fourier possono essere calcolati anche per segnali complessi; nel caso particolare di x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ reale i coefficienti di Fourier risultano godere della proprietà di simmetria coniugata, espressa come

X_-n = X^*_n

e che esprime la circostanza che i coefficienti con indice n negativo possiedono una parte reale uguale a quella dei coefficienti con (uguale) indice positivo, e parte immaginaria cambiata di segno^2.4. Ciò comporta una proprietà analoga per il modulo e la fase di $\left\{\vphantom{ X_{n}}\right.$X_n$\left.\vphantom{ X_{n}}\right\}$, e dunque possiamo scrivere:

x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$  Reale     $$\Leftrightarrow$$    $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} \Re \left\{ X_{-n}\right\} =\R... ...\ \Im \left\{ X_{-n}\right\} =-\Im \left\{ X_{n}\right\} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} \Re \left\{ X_{-n}\right\} =\Re \left\{ X_{n}\right\} \\ \Im \left\{ X_{-n}\right\} =-\Im \left\{ X_{n}\right\} \end{array}$$ ;  $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} \left\vert X_{-n}\right\vert =... ... \arg \left\{ X_{-n}\right\} =-\arg \left\{ X_{n}\right\} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} \left\vert X_{-n}\right\vert =\left\vert X_{n}\r... ...vert \\ \arg \left\{ X_{-n}\right\} =-\arg \left\{ X_{n}\right\} \end{array}$$

0.300000

Tali relazioni evidenziano come, per x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ reale, gli X_n risultano dotati di modulo pari e fase dispari, ovvero parte reale pari e parte immaginaria dispari.

Confrontando la formula di ricostruzione

x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = $\sum^{\infty }_{n=-\infty }$X_n e^j2$\pi$nFt

con quella

x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = ${\frac{1}{2}}$$\left\{\vphantom{ \underline{x}\hbox {e}^{j2\pi f_{0}t}+\underline{x}^{*}\hbox {e}^{-j2\pi f_{0}t}}\right.$$\underline{x}$e^j2$\pi$f₀t + $\underline{x}^{*}_{}$e^{-j2$\pi$f₀t}$\left.\vphantom{ \underline{x}\hbox {e}^{j2\pi f_{0}t}+\underline{x}^{*}\hbox {e}^{-j2\pi f_{0}t}}\right\}$

ricavata al § 2.1.3 per il caso di un coseno, e tenendo conto della proprietà di simmetria coniugata X_-n = X^*_n, si nota come un segnale reale possa essere pensato composto a partire da un insieme infinito di fasori (pari alla metà dei coefficienti X_n), rotante ognuno con una velocità angolare $\omega_{n}^{}$ = 2$\pi$nF multipla della frequenza fondamentale.