Prestazioni

Il calcolo della P_e e si basa su quello relativo alle probabilità di errore P_en condizionato alle singole portanti. Dato che la portante n-esima trasporta M_n bit/simbolo, la probabilità che un bit generico provenga dalla portante n-esima risulta pari a Pr$\left(\vphantom{ n}\right.$n$\left.\vphantom{ n}\right)$ = ${\frac{M_{n}}{M}}$ e quindi la probabilità che sia errato è pari a

$$\sum_{n=0}^{\widetilde{N}-1} \left(\vphantom{ n}\right. \left.\vphantom{ n}\right) {\frac{1}{M}} \sum_{n=0}^{\widetilde{N}-1}$$ (11.13)

Calcolo della P_e per portante

La P_en dipende dal numero di livelli L_n = 2^M_n scelto per la portante n-esima, e dal rapporto $\left(\vphantom{ \frac{E_{b}}{N_{0}}}\right.$${\frac{E_{b}}{N_{0}}}$ $\left.\vphantom{ \frac{E_{b}}{N_{0}}}\right)_{n}^{}$ locale.

Per determinare il valore di P_en conviene applicare i risultati trovati al § 11.3.1 per la modulazione QAM, particolarizzati al caso attuale, in cui si adottano impulsi rettangolari di durata T₀ = ${\frac{1}{\Delta }}$. Attribuendo ai punti delle costellazioni gruppi di bit secondo la codifica di Gray, risulta

$${\frac{2}{\log _{2}L_{n}}} \alpha_{n} \alpha_{n} \left(\vphantom{ 1-\frac{1}{\sqrt{L_{n}}}}\right. {\frac{1}{\sqrt{L_{n}}}} \left.\vphantom{ 1-\frac{1}{\sqrt{L_{n}}}}\right) \left\{\vphantom{ \sqrt{\frac{3}{2}SNR_{n}\frac{1}{L_{n}-1}}}\right. \sqrt{\frac{3}{2}SNR_{n}\frac{1}{L_{n}-1}} \left.\vphantom{ \sqrt{\frac{3}{2}SNR_{n}\frac{1}{L_{n}-1}}}\right\}$$ (11.14)

è la probabilità di errore su di uno dei rami (in fase od in quadratura) della n-esima costellazione QAM, come ottenuta in § 5.5.3 per il caso di banda base^11.23.

Per il calcolo di

SNR_n = $${\frac{\mathcal{P}_{R_{n}}^{c}}{\mathcal{P}_{N_{n}}^{c}}}$$ = $${\frac{\mathcal{P}_{R_{n}}^{s}}{\mathcal{P}_{N_{n}}^{s}}}$$ = $${\frac{\frac{1}{2}\mathcal{P}_{\underline{R}_{n}}}{\frac{1}{2}\mathcal{P}_{\underline{N}_{n}}}}$$ = $${\frac{\mathcal{P}_{\underline{R}_{n}}}{\mathcal{P}_{\underline{N}_{n}}}}$$

osserviamo che la potenza $\mathcal {P}$_{$\underline{R}_{n}$} dell'inviluppo complesso del segnale ricevuto sulla portante n-esima, è pari a

$$\mathcal {P}$$_{$\underline{R}_{n}$} = 2$$\mathcal {P}$$_Rn = 2$${\frac{T_{0}}{T}}$$$$\alpha_{n}^{}$$$$\mathcal {P}$$

in cui $\mathcal {P}$ è la potenza totale ricevuta, e $\alpha_{n}^{}$ = ${\frac{\mathcal{P}_{n}}{\mathcal{P}}}$ è la frazione di potenza assegnata alla n-esima portante. Resta quindi da determinare $\mathcal {P}$_{$\underline{N}_{n}$}.

Potenza di rumore per portante

Per quanto riguarda $\mathcal {P}$_{$\underline{N}_{n}$}, si tratta di applicare la (11.12) alla sequenza $\left\{\vphantom{ \left( -1\right) ^{h}\underline{n}\left( hT_{c}\right) }\right.$$\left(\vphantom{ -1}\right.$ -1$\left.\vphantom{ -1}\right)^{h}_{}$$\underline{n}$$\left(\vphantom{ hT_{c}}\right.$hT_c$\left.\vphantom{ hT_{c}}\right)$ $\left.\vphantom{ \left( -1\right) ^{h}\underline{n}\left( hT_{c}\right) }\right\}$ dei campioni dell'inviluppo complesso del rumore, e determinare il valore

$$\mathcal {P}$$_{$\underline{N}_{n}$} = E$$\left\{\vphantom{ \left( \underline{N}_{n}\right) ^{2}}\right.$$$$\left(\vphantom{ \underline{N}_{n}}\right.$$$$\underline{N}_{n}^{}$$ $$\left.\vphantom{ \underline{N}_{n}}\right)^{2}_{}$$ $$\left.\vphantom{ \left( \underline{N}_{n}\right) ^{2}}\right\}$$ = $$\sigma_{\underline{N}_{n}}^{2}$$    in cui    $$\underline{N}_{n}^{}$$ = $${\frac{1}{N}}$$$$\sum_{h=0}^{N-1}$$$$\left(\vphantom{ -1}\right.$$ -1$$\left.\vphantom{ -1}\right)^{h}_{}$$$$\underline{n}$$$$\left(\vphantom{ hT_{c}}\right.$$hT_c$$\left.\vphantom{ hT_{c}}\right)$$e^{-j2$\pi$${\frac{h}{N}}$n}

in virtù del fatto che i valori $\underline{n}$$\left(\vphantom{ hT_{c}}\right.$hT_c$\left.\vphantom{ hT_{c}}\right)$ sono a media nulla, che (con n fissato) la FFT ne effettua una combinazione lineare con coefficienti e^{-j2$\pi$${\frac{h}{N}}$n}, e che essendo $\underline{n}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ ergodico è possibile scambiare medie temporali e di insieme. Sviluppando

$$\left(\vphantom{ \underline{N}_{n}}\right.$$$$\underline{N}_{n}^{}$$ $$\left.\vphantom{ \underline{N}_{n}}\right)^{2}_{}$$ = $$\underline{N}_{n}^{}$$$$\underline{N}_{n}^{*}$$ = $${\frac{1}{N^{2}}}$$$$\sum_{h=0}^{N-1}$$$$\sum_{k=0}^{N-1}$$$$\left(\vphantom{ -1}\right.$$ -1$$\left.\vphantom{ -1}\right)^{h-k}_{}$$$$\underline{n}$$$$\left(\vphantom{ hT_{c}}\right.$$hT_c$$\left.\vphantom{ hT_{c}}\right)$$$$\underline{n}^{*}_{}$$$$\left(\vphantom{ kT_{c}}\right.$$kT_c$$\left.\vphantom{ kT_{c}}\right)$$e^{-j2$\pi$${\frac{h-k}{N}}$n}

e tenendo conto che E$\left\{\vphantom{ \left( -1\right) ^{h-k}\underline{n}\left( hT_{c}\right) \underline{n}^{*}\left( kT_{c}\right) }\right.$$\left(\vphantom{ -1}\right.$ -1$\left.\vphantom{ -1}\right)^{h-k}_{}$$\underline{n}$$\left(\vphantom{ hT_{c}}\right.$hT_c$\left.\vphantom{ hT_{c}}\right)$$\underline{n}^{*}_{}$$\left(\vphantom{ kT_{c}}\right.$kT_c$\left.\vphantom{ kT_{c}}\right)$ $\left.\vphantom{ \left( -1\right) ^{h-k}\underline{n}\left( hT_{c}\right) \underline{n}^{*}\left( kT_{c}\right) }\right\}$ = e^{j$\pi$$\left(\vphantom{ h-k}\right.$h - k$\left.\vphantom{ h-k}\right)$}$\mathcal {R}$_{$\underline{N}$}$\left(\vphantom{ \left( h-k\right) T_{c}}\right.$$\left(\vphantom{ h-k}\right.$h - k$\left.\vphantom{ h-k}\right)$T_c$\left.\vphantom{ \left( h-k\right) T_{c}}\right)$ otteniamo^11.24

$$\mathcal {P} \underline{N}_{n} {\frac{1}{N^{2}}} \sum_{h=0}^{N-1} \sum_{k=0}^{N-1} \mathcal {R} \underline{N} \left(\vphantom{ \left( h-k\right) T_{c}}\right. \left(\vphantom{ h-k}\right. \left.\vphantom{ h-k}\right) \left.\vphantom{ \left( h-k\right) T_{c}}\right) \pi \left(\vphantom{ h-k}\right. \left.\vphantom{ h-k}\right) \pi {\frac{h-k}{N}}$$ =

$${\frac{1}{N}} \sum_{m=-\left( N-1\right) }^{N-1} {\frac{N-\left\vert m\right\vert }{N}} \mathcal {R} \underline{N} \left(\vphantom{ mT_{c}}\right. \left.\vphantom{ mT_{c}}\right) \pi {\frac{mT_{c}}{2T_{c}}} \pi {\frac{m}{N}}$$ =

$${\frac{1}{N}} \sum_{m=-\left( N-1\right) }^{N-1} \left(\vphantom{ m}\right. \left.\vphantom{ m}\right) \pi {\frac{m}{N}}$$ = (11.15)

in cui l'ultima riga semplifica l'espressione introducendo la sequenza $\left\{\vphantom{ z\left( m\right) }\right.$z$\left(\vphantom{ m}\right.$m$\left.\vphantom{ m}\right)$ $\left.\vphantom{ z\left( m\right) }\right\}$ di lunghezza N, che si ottiene campionando

$$\left(\vphantom{ t}\right. \left.\vphantom{ t}\right) \left(\vphantom{ 1-\frac{\left\vert t\right\vert }{NT_{c}}}\right. {\frac{\left\vert t\right\vert }{NT_{c}}} \left.\vphantom{ 1-\frac{\left\vert t\right\vert }{NT_{c}}}\right) \mathcal {R} \underline{N} \left(\vphantom{ t}\right. \left.\vphantom{ t}\right) \pi {\frac{t}{2T_{c}}}$$ (11.16)

agli istanti t = mT_c con T_c = ${\frac{1}{N\Delta }}$.

Mostriamo ora come, per N sufficientemente elevato, la (11.15) possa essere calcolata in funzione dei campioni di Z$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ = $\mathcal {F}$$\left\{\vphantom{ z\left( t\right) }\right.$z$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ $\left.\vphantom{ z\left( t\right) }\right\}$, ed in particolare di come risulti $\mathcal {P}$_{$\underline{N}_{n}$} $\simeq$ $\Delta$ ^. $\left.\vphantom{ Z\left( f\right) }\right.$Z$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ $\left.\vphantom{ Z\left( f\right) }\right\vert _{f=n\Delta }^{}$ $\simeq$ 4$\Delta$ ^. $\mathcal {P}$_N$\left(\vphantom{ f_{n}}\right.$f_n$\left.\vphantom{ f_{n}}\right)$.

Analizzando i termini che compaiono in (11.16), osserviamo che il prodotto $\mathcal {R}$_{$\underline{N}$}$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$e^{j2$\pi$${\frac{t}{2T_{c}}}$} ha trasformata pari a $\mathcal {P}$_{$\underline{N}$}$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$, translata in frequenza di - ${\frac{1}{2T_{c}}}$ = - ${\frac{N\Delta }{2}}$, ovvero

$$\mathcal {F}$$$$\left\{\vphantom{ \mathcal{R}_{\underline{N}}\left( t\right) \hbox {e}^{j2\pi \frac{t}{2T_{c}}}}\right.$$$$\mathcal {R}$$_{$\underline{N}$}$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$e^{j2$\pi$${\frac{t}{2T_{c}}}$}$$\left.\vphantom{ \mathcal{R}_{\underline{N}}\left( t\right) \hbox {e}^{j2\pi \frac{t}{2T_{c}}}}\right\}$$ = $$\mathcal {P}$$_{$\underline{N}$}$$\left(\vphantom{ f-\frac{N\Delta }{2}}\right.$$f - $${\frac{N\Delta }{2}}$$ $$\left.\vphantom{ f-\frac{N\Delta }{2}}\right)$$

mentre il termine $\left(\vphantom{ 1-\frac{\left\vert t\right\vert }{NT_{c}}}\right.$1 - ${\frac{\left\vert t\right\vert }{NT_{c}}}$ $\left.\vphantom{ 1-\frac{\left\vert t\right\vert }{NT_{c}}}\right)$ = tri_2NTc$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = tri_{${\frac{2}{\Delta }}$}$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ possiede come noto trasformata $\mathcal {F}$$\left\{\vphantom{ tri_{\frac{2}{\Delta }}\left( t\right) }\right.$tri_{${\frac{2}{\Delta }}$}$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ $\left.\vphantom{ tri_{\frac{2}{\Delta }}\left( t\right) }\right\}$ = ${\frac{1}{\Delta }}$sinc²$\left(\vphantom{ \frac{f}{\Delta }}\right.$${\frac{f}{\Delta }}$ $\left.\vphantom{ \frac{f}{\Delta }}\right)$; pertanto per N elevato il prodotto z$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = $\mathcal {R}$_{$\underline{N}$}$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$e^{j2$\pi$${\frac{t}{2T_{c}}}$ .} tri_{${\frac{2}{\Delta }}$}$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ ha trasformata

Z$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ = $$\mathcal {P}$$_{$\underline{N}$}$$\left(\vphantom{ f-\frac{N\Delta }{2}}\right.$$f - $${\frac{N\Delta }{2}}$$ $$\left.\vphantom{ f-\frac{N\Delta }{2}}\right)$$*$${\frac{1}{\Delta }}$$sinc²$$\left(\vphantom{ \frac{f}{\Delta }}\right.$$$${\frac{f}{\Delta }}$$ $$\left.\vphantom{ \frac{f}{\Delta }}\right)$$ $$\simeq$$ $$\mathcal {P}$$_{$\underline{N}$}$$\left(\vphantom{ f-\frac{N\Delta }{2}}\right.$$f - $${\frac{N\Delta }{2}}$$ $$\left.\vphantom{ f-\frac{N\Delta }{2}}\right)$$

avendo approssimato ${\frac{1}{\Delta }}$sinc²$\left(\vphantom{ \frac{f}{\Delta }}\right.$${\frac{f}{\Delta }}$ $\left.\vphantom{ \frac{f}{\Delta }}\right)$ come un impulso di area unitaria, per N$\Delta$ grande rispetto a $\Delta$.

Dato che $\mathcal {P}$_{$\underline{N}$}$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ è limitato in banda tra $\pm$${\frac{N\Delta }{2}}$, allora Z$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ è limitato in una banda compresa tra f = 0 ed f = N$\Delta$, e z$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ è perfettamente rappresentato dai suoi campioni z$\left(\vphantom{ m}\right.$m$\left.\vphantom{ m}\right)$ = z$\left(\vphantom{ mT_{c}}\right.$mT_c$\left.\vphantom{ mT_{c}}\right)$ che compaiono nella (11.15); in particolare, per N sufficientemente elevato, si ottiene^11.25 che

$$\mathcal {P} \underline{N}_{n} {\frac{1}{N}} \sum_{m=-\left( N-1\right) }^{N-1} \left(\vphantom{ m}\right. \left.\vphantom{ m}\right) \pi {\frac{m}{N}} \simeq \Delta \left.\vphantom{ Z\left( f\right) }\right. \left(\vphantom{ f}\right. \left.\vphantom{ f}\right) \left.\vphantom{ Z\left( f\right) }\right\vert _{f=n\Delta }^{}$$ =

$$\Delta \mathcal {P} \underline{N} \left(\vphantom{ n\Delta -\frac{N\Delta }{2}}\right. \Delta {\frac{N\Delta }{2}} \left.\vphantom{ n\Delta -\frac{N\Delta }{2}}\right) \Delta \mathcal {P} \underline{N} \left(\vphantom{ \Delta \left( n-\frac{N}{2}\right) }\right. \Delta \left(\vphantom{ n-\frac{N}{2}}\right. {\frac{N}{2}} \left.\vphantom{ n-\frac{N}{2}}\right) \left.\vphantom{ \Delta \left( n-\frac{N}{2}\right) }\right) \Delta \mathcal {P} \left(\vphantom{ f_{0}+\Delta \left( n-\frac{N}{2}\right) }\right. \Delta \left(\vphantom{ n-\frac{N}{2}}\right. {\frac{N}{2}} \left.\vphantom{ n-\frac{N}{2}}\right) \left.\vphantom{ f_{0}+\Delta \left( n-\frac{N}{2}\right) }\right)$$ =

$$\Delta \mathcal {P} \left(\vphantom{ f_{n}}\right. \left.\vphantom{ f_{n}}\right) \Delta \mathcal {N} \left(\vphantom{ f_{n}}\right. \left.\vphantom{ f_{n}}\right)$$ =

in cui si è tenuto conto che $\mathcal {P}$_{$\underline{N}$}$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ = 4$\mathcal {P}$_N⁺$\left(\vphantom{ f+f_{0}}\right.$f + f₀$\left.\vphantom{ f+f_{0}}\right)$ e si è indicata la densità di potenza in ingresso come $\mathcal {P}$_N$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ = ${\frac{\mathcal{N}_{0}\left( f\right) }{2}}$.

Prestazioni per portante

Siamo finalmente in grado di scrivere

SNR_n = $${\frac{\mathcal{P}_{\underline{R}_{n}}}{\mathcal{P}_{\underline{N}_{n}}}}$$ = $${\frac{2\frac{T_{0}}{T}\alpha _{n}\mathcal{P}}{2\Delta \mathcal{N}_{0}\left( f_{n}\right) }}$$ = $${\frac{T_{0}}{T}}$$$$\alpha_{n}^{}$$$${\frac{T_{0}\mathcal{P}}{\mathcal{N}_{0}\left( f_{n}\right) }}$$ = $${\frac{T_{0}}{T}}$$$$\alpha_{n}^{}$$$${\frac{E_{s}}{\mathcal{N}_{0}\left( f_{n}\right) }}$$ = $${\frac{T_{0}}{T}}$$$$\alpha_{n}^{}$$M_n$${\frac{E_{b_{n}}}{\mathcal{N}_{0}\left( f_{n}\right) }}$$

avendo posto E_s = T₀$\mathcal {P}$ pari all'energia di un simbolo di durata T₀ = ${\frac{1}{\Delta }}$. L'energia per bit risulta dunque E_b = ${\frac{E_{s}}{M}}$, mentre per la portante n-esima si ha E_bn = ${\frac{E_{s}}{M_{n}}}$. La P_e per portante risulta quindi

$${\frac{2}{M_{n}}} \left(\vphantom{ 1-\frac{1}{\sqrt{L_{n}}}}\right. {\frac{1}{\sqrt{L_{n}}}} \left.\vphantom{ 1-\frac{1}{\sqrt{L_{n}}}}\right) \left\{\vphantom{ \sqrt{\frac{3}{2}\frac{T_{0}}{T}\frac{E_{b_{n}}}{\mathcal{N}_{0}\left( f_{n}\right) }\frac{\alpha _{n}M_{n}}{L_{n}-1}}}\right. \sqrt{\frac{3}{2}\frac{T_{0}}{T}\frac{E_{b_{n}}}{\mathcal{N}_{0}\left( f_{n}\right) }\frac{\alpha _{n}M_{n}}{L_{n}-1}} \left.\vphantom{ \sqrt{\frac{3}{2}\frac{T_{0}}{T}\frac{E_{b_{n}}}{\mathcal{N}_{0}\left( f_{n}\right) }\frac{\alpha _{n}M_{n}}{L_{n}-1}}}\right\}$$ (11.17)

Caso di rumore bianco

Se $\mathcal {P}$_N$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ non dipende da f, possiamo scrivere

$$\mathcal {P}$$_N⁺$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ = $${\frac{\mathcal{N}_{0}}{2}}$$rect_N$\Delta$$$\left(\vphantom{ f-f_{0}}\right.$$f - f₀$$\left.\vphantom{ f-f_{0}}\right)$$

e semplificare la (11.17), sostituendo ad $\mathcal {N}$₀$\left(\vphantom{ f_{n}}\right.$f_n$\left.\vphantom{ f_{n}}\right)$ la costante $\mathcal {N}$₀. In questo caso, il risultato $\mathcal {P}$_{$\underline{N}_{n}$} = 2$\Delta$ ^. $\mathcal {N}$₀ può essere ottenuto direttamente dalla (11.15): infatti, risulta

$$\mathcal {R}$$_{$\underline{N}$}$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ = $$\mathcal {F}$$^-1$$\left\{\vphantom{ \mathcal{P}_{\underline{N}}\left( f\right) }\right.$$$$\mathcal {P}$$_{$\underline{N}$}$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ $$\left.\vphantom{ \mathcal{P}_{\underline{N}}\left( f\right) }\right\}$$ = $$\mathcal {F}$$^-1$$\left\{\vphantom{ 4\mathcal{P}_{N}^{+}\left( f+f_{0}\right) }\right.$$4$$\mathcal {P}$$_N⁺$$\left(\vphantom{ f+f_{0}}\right.$$f + f₀$$\left.\vphantom{ f+f_{0}}\right)$$ $$\left.\vphantom{ 4\mathcal{P}_{N}^{+}\left( f+f_{0}\right) }\right\}$$ = 2$$\mathcal {N}$$₀N$$\Delta$$sinc$$\left(\vphantom{ N\Delta t}\right.$$N$$\Delta$$t$$\left.\vphantom{ N\Delta t}\right)$$

e dunque $\mathcal {R}$_{$\underline{N}$}$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = 0 con t = mT_c = ${\frac{m}{N\Delta }}$ per m $\neq$ 0. Ciò permette di scrivere in definitiva

$$\mathcal {P}$$_{$\underline{N}_{n}$} = $${\frac{1}{N}}$$$$\mathcal {R}$$_{$\underline{N}$}$$\left(\vphantom{ 0}\right.$$ 0$$\left.\vphantom{ 0}\right)$$ = $${\frac{1}{N}}$$2$$\mathcal {N}$$₀N$$\Delta$$ = 2$$\Delta$$ ^. $$\mathcal {N}$$₀

Confronto con la portante singola

Proviamo a verificare se la modulazione OFDM è vantaggiosa in termini di prestazioni, per una medesima occupazione di banda ed a parità di potenza. Nel caso in cui il tempo di guardia T_g = T - T₀ sia nullo, in presenza di rumore bianco, e scegliendo un intervallo di simbolo T₀ = ${\frac{1}{\Delta }}$ da cui derivare M^OFDM = T₀ ^. f_b, M_n = ${\frac{M^{OFDM}}{\widetilde{N}}}$ e $\alpha_{n}^{}$ = ${\frac{1}{\widetilde{N}}}$, si ottengono valori ${\frac{E_{b_{n}}}{\mathcal{N}_{0}}}$ uguali per le diverse portanti, a cui corrisponde il miglior valore di

P_e^OFDM = P_e/n = $${\frac{2\widetilde{N}}{M^{OFDM}}}$$$$\left(\vphantom{ 1-\frac{1}{\sqrt{L_{n}}}}\right.$$1 - $${\frac{1}{\sqrt{L_{n}}}}$$ $$\left.\vphantom{ 1-\frac{1}{\sqrt{L_{n}}}}\right)$$erfc$$\left\{\vphantom{ \sqrt{\frac{3}{2}\frac{E_{b}}{\mathcal{N}_{0}}\frac{1}{\widetilde{N}}\frac{M^{OFDM}}{L_{n}-1}}}\right.$$$$\sqrt{\frac{3}{2}\frac{E_{b}}{\mathcal{N}_{0}}\frac{1}{\widetilde{N}}\frac{M^{OFDM}}{L_{n}-1}}$$ $$\left.\vphantom{ \sqrt{\frac{3}{2}\frac{E_{b}}{\mathcal{N}_{0}}\frac{1}{\widetilde{N}}\frac{M^{OFDM}}{L_{n}-1}}}\right\}$$

ottenuta tenendo conto che E_bnM_n = E_s = E_bM^OFDM = E_blog₂L^OFDM.

Nel caso in cui si adotti una modulazione a portante singola con impulso a coseno rialzato e roff-off $\gamma$ = ${\frac{N}{\widetilde{N}}}$ - 1, si determina una occupazione di banda pari a B = f_L$\left(\vphantom{ 1+\gamma }\right.$1 + $\gamma$ $\left.\vphantom{ 1+\gamma }\right)$ che, se eguagliata a quella del caso OFDM, fornisce f_L = $\widetilde{N}$$\Delta$ = ${\frac{\widetilde{N}}{T_{0}}}$ e quindi M^QAM = ${\frac{f_{b}}{f_{L}}}$ = ${\frac{M^{OFDM}}{\widetilde{N}}}$. Pertanto in questo caso si ottiene

$${\frac{2}{M^{QAM}}} \left(\vphantom{ 1-\frac{1}{\sqrt{L}}}\right. {\frac{1}{\sqrt{L}}} \left.\vphantom{ 1-\frac{1}{\sqrt{L}}}\right) \left\{\vphantom{ \sqrt{\frac{3}{2}\frac{E_{b}}{\mathcal{N}_{0}}\frac{M^{QAM}}{L-1}}}\right. \sqrt{\frac{3}{2}\frac{E_{b}}{\mathcal{N}_{0}}\frac{M^{QAM}}{L-1}} \left.\vphantom{ \sqrt{\frac{3}{2}\frac{E_{b}}{\mathcal{N}_{0}}\frac{M^{QAM}}{L-1}}}\right\}$$ P_e^QAM =

$${\frac{2\widetilde{N}}{M^{OFDM}}} \left(\vphantom{ 1-\frac{1}{\sqrt{L}}}\right. {\frac{1}{\sqrt{L}}} \left.\vphantom{ 1-\frac{1}{\sqrt{L}}}\right) \left\{\vphantom{ \sqrt{\frac{3}{2}\frac{E_{b}}{\mathcal{N}_{0}}\frac{1}{\widetilde{N}}\frac{M^{OFDM}}{L-1}}}\right. \sqrt{\frac{3}{2}\frac{E_{b}}{\mathcal{N}_{0}}\frac{1}{\widetilde{N}}\frac{M^{OFDM}}{L-1}} \left.\vphantom{ \sqrt{\frac{3}{2}\frac{E_{b}}{\mathcal{N}_{0}}\frac{1}{\widetilde{N}}\frac{M^{OFDM}}{L-1}}}\right\}$$ =

che risulta identico a P_e^OFDM qualora si noti che L_n = 2^M_n = 2^{${\frac{M^{OFDM}}{\widetilde{N}}}$} e L = 2^MQAM = 2^{${\frac{M^{OFDM}}{\widetilde{N}}}$} = L_n.

E allora dov'è la convenienza ? E' il tema delle prossime sottosezioni.