Rumore termico accumulato

Osservando solamente il segnale in uscita dall'ultimo ripetitore, si può definire un SNR complessivo come SNR_T = ${\frac{\mathcal{P}_{m}}{\mathcal{P}_{n}}}$. D'altra parte, il rumore complessivo è dovuto ai contributi di rumore introdotti dai singoli ripetitori: essendo questi ultimi indipendenti tra loro, la potenza di rumore accumulata è la somma delle singole potenze di rumore:

$$\mathcal {P}$$_n = $$\sigma_{n}^{2}$$ = E$$\left\{\vphantom{ n^{2}\left( t\right) }\right.$$n²$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ $$\left.\vphantom{ n^{2}\left( t\right) }\right\}$$ = E$$\left\{\vphantom{ \left( \sum _{i}n_{i}\left( t\right) \right) ^{2}}\right.$$$$\left(\vphantom{ \sum _{i}n_{i}\left( t\right) }\right.$$$$\sum_{i}^{}$$n_i$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ $$\left.\vphantom{ \sum _{i}n_{i}\left( t\right) }\right)^{2}_{}$$ $$\left.\vphantom{ \left( \sum _{i}n_{i}\left( t\right) \right) ^{2}}\right\}$$ = $$\sum_{i}^{}$$$$\sigma_{n_{i}}^{2}$$ = $$\sum_{i=1}^{M}$$$$\mathcal {P}$$_ni

Osserviamo ora che per ogni singolo ripetitore può essere definito un proprio SNR_i = ${\frac{\mathcal{P}_{m_{i}}}{\mathcal{P}_{n_{i}}}}$, e quindi $\mathcal {P}$_ni = ${\frac{\mathcal{P}_{m_{i}}}{SNR_{i}}}$. Pertanto l'SNR complessivo risulta: SNR_T = ${\frac{\mathcal{P}_{m}}{\sum _{i}\frac{\mathcal{P}_{m_{i}}}{SNR_{i}}}}$. Notiamo ora che, essendo il rumore complessivo riferito ad un livello di segnale di riferimento, lo stesso deve avvenire per i singoli contributi $\mathcal {P}$_ni, cosicché nell'ultima espressione occorre considerare $\mathcal {P}$_mi = $\mathcal {P}$_m con $\forall$i, fornendo in definitiva

SNR_T = $${\frac{\mathcal{P}_{m}}{\mathcal{P}_{m}\sum _{i}\frac{1}{SNR_{i}}}}$$ = $${\frac{1}{\sum _{i}\frac{1}{SNR_{i}}}}$$

Questo risultato è indicato anche con la frase ``l'SNR prodotto da più cause indipendenti è il parallelo degli SNR dovuti alle diverse cause di rumore'', per via della analogia formale con la resistenza equivalente di un parallelo di resistenze; l'analogia evidenzia, tra l'altro, che se una tratta è considerevolmente peggiore delle altre, SNR_T dipenderà essenzialmente da questa.

Il risultato a cui siamo giunti (del parallelo) ha validità più generale del caso illustrato, e può essere invocato ogni volta che un sistema di comunicazione è affetto da più cause di disturbo additivo indipendenti tra loro, per ognuna delle quali si sia separatamente in grado di giungere ad una espressione di SNR.

Proseguiamo l'analisi ipotizzando ora che tutte le tratte siano uguali tra loro, ovvero con eguali A_d e G_d, uguali temperature di rumore, ed uguali SNR_i. In tal caso si ottiene

SNR_T = $${\frac{1}{\frac{M}{SNR_{i}}}}$$ = $${\frac{SNR_{i}}{M}}$$

con SNR_m = $\alpha$SNR₀ = $\alpha$${\frac{\mathcal{P}_{R}}{\mathcal{P}_{n}}}$, dove $\mathcal {P}$_n = kT_eiW è la potenza di rumore nella banda di messaggio W, $\mathcal {P}$_R è la potenza ricevuta da un ripetitore (uguale per tutti se le tratte sono uguali), e $\alpha$ è un fattore che dipende dal tipo di modulazione. Sembrerebbe dunque che per migliorare l'SNR complessivo sia sufficiente elevare il livello di trasmissione di tutti gli stadi, in modo da elevare la potenza ricevuta. In realtà la potenza trasmessa non può aumentare a piacere, in quanto intervengono fenomeni di non-linearità.