Proprietà dell'autocorrelazione

Elenchiamo ora alcune caratteristiche della funzione di autocorrelazione:

Traslazioni temporali.

Se consideriamo i segnali x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ e y$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = x$\left(\vphantom{ t+\theta }\right.$t + $\theta$ $\left.\vphantom{ t+\theta }\right)$, le rispettive autocorrelazioni $\mathcal {R}$_x$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$ ed $\mathcal {R}$_y$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$ sono identiche^7.9. Questo risultato mostra come l'autocorrelazione non tenga conto dell'informazione legata alla fase dei segnali: infatti x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ e y$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ hanno la stessa densità spettrale, a meno di un contributo di fase lineare, ed hanno uguale autocorrelazione.

Durata Limitata.

La funzione di autocorrelazione di un segnale di durata limitata è anch'essa a durata limitata, e di estensione doppia rispetto alla durata del segnale originario.

Segnali Periodici.

L'autocorrelazione di un segnale periodico di periodo T è anch'essa periodica, con lo stesso periodo. Infatti per $\tau$ = nT il secondo fattore integrando è traslato di un numero intero di periodi.

 

Illustriamo ora invece due proprietà fondamentali:

Massimo nell'origine.

La $\mathcal {R}$_x$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$ calcolata in $\tau$ = 0 fornisce il valore massimo di $\mathcal {R}$_x$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$ per qualunque altro valore di $\tau$. In particolare, $\mathcal {R}$_x$\left(\vphantom{ \tau =0}\right.$$\tau$ = 0$\left.\vphantom{ \tau =0}\right)$ è uguale alla potenza del segnale x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, od all'energia se x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ è di energia.

0 $$\leq$$ $$\mathcal {R}$$_x$$\left(\vphantom{ 0}\right.$$ 0$$\left.\vphantom{ 0}\right)$$ = $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{rll} \int \left\vert x\left( t\ri... ...\right) \right\vert & se\, x\left( t\right) \, di\, potenza \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{rll} \int \left\vert x\left( t\right) \right\vert ^... ...u \neq 0\right) \right\vert & se\, x\left( t\right) \, di\, potenza \end{array}$$

in cui l'ultimo segno $\geq$ risulta = per $\tau$ = nT se x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ è periodico.

Simmetria coniugata:

 

0.250000

 è possibile verificare che risulta $\mathcal {R}$_x$\left(\vphantom{ -\tau }\right.$ - $\tau$ $\left.\vphantom{ -\tau }\right)$ = $\mathcal {R}$_x^*$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$, da cui osserviamo subito che $\mathcal {F}$$\left\{\vphantom{ \mathcal{R}_{x}\left( \tau \right) }\right.$$\mathcal {R}$_x$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$ $\left.\vphantom{ \mathcal{R}_{x}\left( \tau \right) }\right\}$ è reale. Nel caso in cui x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ è reale, si ottiene $\mathcal {R}$_x$\left(\vphantom{ -\tau }\right.$ - $\tau$ $\left.\vphantom{ -\tau }\right)$ = $\mathcal {R}$_x$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$, ovvero l'autocorrelazione di un segnale reale è reale pari.