Autocorrelazione

La media temporale $\mathcal {R}$_x$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$ appena introdotta prende il nome di integrale di autocorrelazione, ed è definito anche per segnali di energia, come

$$\mathcal {R}$$_x$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$ = $$\int_{-\infty }^{\infty }$$x^*$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$x$$\left(\vphantom{ t+\tau }\right.$$t + $$\tau$$ $$\left.\vphantom{ t+\tau }\right)$$dt

in cui l'operatore di coniugato generalizza l'operazione anche al caso di segnali complessi. Simile, ma diversa, è la definizione di integrale di intercorrelazione, che esprime lo stesso calcolo, ma relativo a variabili aleatorie estratte da due processi diversi:

$$\mathcal {R}$$_xy$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$ = $$\int_{-\infty }^{\infty }$$x^*$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$y$$\left(\vphantom{ t+\tau }\right.$$t + $$\tau$$ $$\left.\vphantom{ t+\tau }\right)$$dt

L'integrale di autocorrelazione è anche detto funzione di autocorrelazione, in quanto il suo argomento è un tempo (l'intervallo tra due campioni) e dunque $\mathcal {R}$_x$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$ può essere visto come un segnale (funzione di t = $\tau$). Nello studio abbiamo già incontrato un integrale (di convoluzione) il cui risultato è una funzione del tempo; la somiglianza tra i due è più profonda di una semplice analogia, in quanto si può scrivere

$$\mathcal {R}$$_x$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$ = $$\int_{-\infty }^{\infty }$$x^*$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$x$$\left(\vphantom{ t+\tau }\right.$$t + $$\tau$$ $$\left.\vphantom{ t+\tau }\right)$$dt = x^*$$\left(\vphantom{ -t}\right.$$ - t$$\left.\vphantom{ -t}\right)$$*x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$

in cui * è il consueto simbolo di convoluzione^7.8.

0.300000

In base a quest'ultima osservazione otteniamo che la costruzione grafica, che fornisce il risultato dell'integrale di autocorrelazione, è del tutto simile a quella già illustrata per la convoluzione, con la differenza che ora non si effettuano ribaltamenti di asse. La figura a lato ne illustra l'applicazione ad un caso noto, per il quale x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = x^*$\left(\vphantom{ -t}\right.$ - t$\left.\vphantom{ -t}\right)$, e che fornisce quindi lo stesso risultato di x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$*x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$.