Statistiche dei Processi

Nel caso in cui il processo da cui si estraggono x₁ ed x₂ sia stazionario, si ottiene che

$$\mathcal {R}$$_X$$\left(\vphantom{ x\left( t_{1}\right) ,x\left( t_{2}\right) }\right.$$x$$\left(\vphantom{ t_{1}}\right.$$t₁$$\left.\vphantom{ t_{1}}\right)$$, x$$\left(\vphantom{ t_{2}}\right.$$t₂$$\left.\vphantom{ t_{2}}\right)$$ $$\left.\vphantom{ x\left( t_{1}\right) ,x\left( t_{2}\right) }\right)$$ = $$\mathcal {R}$$_X$$\left(\vphantom{ x\left( t_{1}\right) ,x\left( t_{2}=t_{1}+\tau \right) }\right.$$x$$\left(\vphantom{ t_{1}}\right.$$t₁$$\left.\vphantom{ t_{1}}\right)$$, x$$\left(\vphantom{ t_{2}=t_{1}+\tau }\right.$$t₂ = t₁ + $$\tau$$ $$\left.\vphantom{ t_{2}=t_{1}+\tau }\right)$$ $$\left.\vphantom{ x\left( t_{1}\right) ,x\left( t_{2}=t_{1}+\tau \right) }\right)$$ = $$\mathcal {R}$$_X$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$

e cioè la correlazione dipende solo dall'intervallo $\tau$ = t₂ - t₁. Infatti se un processo è stazionario, le proprietà statistiche non dipendono da traslazioni temporali.

Nel caso in cui il processo sia anche ergodico, allora le medie di insieme hanno lo stesso valore delle corrispondenti medie temporali, e dunque la correlazione (media di insieme) può essere calcolata in base alla sua media temporale equivalente, a partire da una qualunque realizzazione del processo

$$\mathcal {R}$$_x$$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$$$\tau$$ $$\left.\vphantom{ \tau }\right)$$ = $$\lim_{T\rightarrow \infty }^{}$$$${\frac{1}{T}}$$$$\int_{-T/2}^{T/2}$$x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$x$$\left(\vphantom{ t+\tau }\right.$$t + $$\tau$$ $$\left.\vphantom{ t+\tau }\right)$$dt

Ovviamente è vero anche l'inverso, e cioè: il valor medio del prodotto tra due campioni, estratti (a caso) a distanza $\tau$ a partire da una specifica realizzazione^7.7, ha un valore che è calcolabile come media di insieme a partire dalla conoscenza della densità di probabilità congiunta p_X1X2$\left(\vphantom{ x_{1},x_{2};t_{1},t_{1}+\tau }\right.$x₁, x₂;t₁, t₁ + $\tau$ $\left.\vphantom{ x_{1},x_{2};t_{1},t_{1}+\tau }\right)$.