Correlazione e Covarianza

Abbiamo già osservato come la caratterizzazione statistica del primo ordine p_X$\left(\vphantom{ x}\right.$x$\left.\vphantom{ x}\right)$ di un processo $\left\{\vphantom{ x\left( t,\theta \right) }\right.$x$\left(\vphantom{ t,\theta }\right.$t,$\theta$ $\left.\vphantom{ t,\theta }\right)$ $\left.\vphantom{ x\left( t,\theta \right) }\right\}$ stazionario ergodico, consenta il calcolo di valor medio m_x e varianza $\sigma_{X}^{2}$, nonché della potenza $\mathcal {P}$_X = E_X$\left\{\vphantom{ x^{2}}\right.$x²$\left.\vphantom{ x^{2}}\right\}$ = $\sigma_{X}^{2}$ - $\left(\vphantom{ m_{x}}\right.$m_x$\left.\vphantom{ m_{x}}\right)^{2}_{}$, valida per una qualunque realizzazione $\theta$ del processo. Definiamo ora una statistica del secondo ordine che permetterà di determinare anche lo spettro di densità di potenza delle realizzazioni del processo.

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La statistica di secondo ordine si basa sulla considerazione di 2 istanti t₁ e t₂, in corrispondenza dei quali estraiamo, da una realizzazione $\overline{\theta }$ di un processo x$\left(\vphantom{ t,\theta }\right.$t,$\theta$ $\left.\vphantom{ t,\theta }\right)$, due variabili aleatorie x₁ = x$\left(\vphantom{ t_{1}}\right.$t₁$\left.\vphantom{ t_{1}}\right)$, x₂ = x$\left(\vphantom{ t_{2}}\right.$t₂$\left.\vphantom{ t_{2}}\right)$. Al variare della realizzazione campionata, tutte le coppie di valori estratti sono altrettante determinazioni di una variabile aleatoria bidimensionale, descritta da una densità di probabilità congiunta p_X1X2$\left(\vphantom{ x_{1}x_{2};t_{1}t_{2}}\right.$x₁x₂;t₁t₂$\left.\vphantom{ x_{1}x_{2};t_{1}t_{2}}\right)$, che in linea di principio dipende anche dagli istanti t₁ e t₂.

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La figura a fianco esemplifica l'operazione di campionamento di una realizzazione, e mostra come la densità congiunta sottenda un volume unitario, e descriva con il suo andamento le regioni del piano x₁x₂ in cui cadono un maggior numero di coppie (ovvero dove la probabilità è più densa).