Trasformata di una costante

Anticipando il risultato a cui si giunge a fine sezione, si ottiene

$\mathcal {F}$$\left\{\vphantom{ A}\right.$A$\left.\vphantom{ A}\right\}$ = A ^. $\delta$$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$    e    $\mathcal {F}$^-1$\left\{\vphantom{ A}\right.$A$\left.\vphantom{ A}\right\}$ = A ^. $\delta$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$

e quindi

La trasformata di una costante è un impulso di area pari a valore della costante.

L'analisi di questo caso consente di illustrare come l'impulso $\delta$$\left(\vphantom{ .}\right.$.$\left.\vphantom{ .}\right)$ permetta di rappresentare particolari situazioni. Consideriamo pertanto il segnale costante x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = A.

Trattiamo x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ come un segnale periodico di periodo T tendente ad $\infty$^3.7, ed esprimiamolo nei termini dei coefficienti di Fourier: l'integrale X_n = ${\frac{1}{T}}$ $\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}$A e^-j2$\pi$nFtdt per T $\rightarrow$ $\infty$ fornisce zero per tutti gli n tranne che per n = 0, e quindi si ottiene X_n = A se n = 0, mentre X_n = 0 se n $\neq$ 0.

In alternativa, pensiamo la costante come il limite a cui tende un'onda quadra con duty-cycle ${\frac{\tau }{T}}$ al tendere di $\tau$ a T: lo spettro di ampiezza è stato calcolato al Capitolo 2, e presenta righe alle armoniche ${\frac{n}{T}}$, mentre l'inviluppo di tipo ${\frac{\sin x}{x}}$ si azzera alle frequenze ${\frac{n}{\tau }}$. Se $\tau$ $\rightarrow$ T, gli zeri annullano tutte le armoniche tranne X₀, il cui valore A${\frac{\tau }{T}}$ tende ora ad A.

Qualora invece si desideri calcolare la trasformata di Fourier anziché la serie, applicando la definizione X$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ = $\int^{\infty }_{-\infty }$Ae^-j2$\pi$ftdt si ottiene X$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ = 0 ovunque, tranne che in f = 0 dove X$\left(\vphantom{ 0}\right.$ 0$\left.\vphantom{ 0}\right)$ = $\infty$.

0.380000

Conviene allora ricorrere ad un'operazione di passaggio al limite, e pensare il segnale x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = A come il risultato dell'allargamento progressivo di un rect_$\tau$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, cioè come x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = $\lim_{\tau \rightarrow \infty }^{}$Arect_$\tau$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$. La figura a lato mostra come, considerando valori $\tau_{i}^{}$ via via più grandi, si ottenga una trasformata X_{$\tau_{i}$}$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ = A$\tau_{i}^{}$sinc$\left(\vphantom{ f\tau _{i}}\right.$f$\tau_{i}^{}$ $\left.\vphantom{ f\tau _{i}}\right)$ sempre più alta e stretta.

Notiamo ora che l'energia di x_$\tau$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = Arect_$\tau$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ vale $\mathcal {E}$_x$\tau$ = $\int^{\infty }_{-\infty }$$\left\vert\vphantom{ x_{\tau }\left( t\right) }\right.$x_$\tau$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ $\left.\vphantom{ x_{\tau }\left( t\right) }\right\vert^{2}_{}$dt = A²$\tau$; per il teorema di Parseval, l'energia coincide nei dominii di tempo e frequenza, e quindi risulta

$$\mathcal {E}$$_x$\tau$ = $$\int^{\infty }_{-\infty }$$$$\left\vert\vphantom{ X_{\tau }\left( f\right) }\right.$$X_$\tau$$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ $$\left.\vphantom{ X_{\tau }\left( f\right) }\right\vert^{2}_{}$$df = A²$$\tau$$

Al tendere di $\tau$ ad $\infty$, l'energia diviene infinita, mentre la potenza vale

$$\mathcal {P}$$_x = $$\lim_{\tau \rightarrow \infty }^{}$$$${\frac{\mathcal{E}_{x_{\tau }}}{\tau }}$$ = $$\lim_{\tau \rightarrow \infty }^{}$$$$\int^{\infty }_{-\infty }$$$${\frac{\left\vert X_{\tau }\left( f\right) \right\vert ^{2}}{\tau }}$$df = A²

L'espressione $\lim_{\tau \rightarrow \infty }^{}$${\frac{\left\vert X_{\tau }\left( f\right) \right\vert ^{2}}{\tau }}$ rappresenta dunque lo spettro di densità di potenza $\mathcal {P}$_x$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ della costante A, che finalmente scriviamo come $\mathcal {P}$_x$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ = A²$\delta$$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$, in cui $\delta$$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ è la funzione impulso matematico introdotta in 3.4. In tal modo infatti, è facile verificare che risulta $\mathcal {P}$_x = $\int^{\infty }_{-\infty }$A²$\delta$$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$df = A², e $\mathcal {P}$_x$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ = $\left\{\vphantom{ \begin{array}{cl} \infty & \hbox {con}\; f=0\\ 0 & \hbox {altrove} \end{array}}\right.$$\begin{array}{cl} \infty & \hbox {con}\; f=0\\ 0 & \hbox {altrove} \end{array}$. Il formalismo dell'impulso matematico rende quindi possibile trattare il caso in oggetto, in cui la potenza (finita) è tutta concentrata in un unico punto (f = 0) dando luogo ad una densità infinita.

Resta da dimostrare quanto anticipato ad inizio sezione, ossia che $\mathcal {F}$$\left\{\vphantom{ A}\right.$A$\left.\vphantom{ A}\right\}$ = A$\delta$$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$. Abbiamo visto come $\mathcal {F}$$\left\{\vphantom{ Arect_{\tau }\left( t\right) }\right.$Arect_$\tau$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ $\left.\vphantom{ Arect_{\tau }\left( t\right) }\right\}$ = A$\tau$sinc$\left(\vphantom{ f\tau }\right.$f$\tau$ $\left.\vphantom{ f\tau }\right)$, che per $\tau$ $\rightarrow$ $\infty$ vale $\infty$ con f = 0 e zero con f $\neq$ 0. Ci troviamo quindi nelle esatte circostanze che definiscono un impulso matematico, e resta da verificare che $\int^{\infty }_{-\infty }$$\tau$sinc$\left(\vphantom{ f\tau }\right.$f$\tau$ $\left.\vphantom{ f\tau }\right)$df = 1: si può mostrare (pag. ) che l'integrale vale uno per qualunque $\tau$, e quindi possiamo scrivere $\mathcal {F}$$\left\{\vphantom{ A}\right.$A$\left.\vphantom{ A}\right\}$ = A ^. $\delta$$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$.