Moltiplicazione in Frequenza e nel Tempo

La descrizione di un sistema fisico per mezzo della sua risposta impulsiva è di fondamentale utilità soprattutto per merito della seguente proprietà della trasformata di Fourier:

La $\mathcal {F}$-trasformata della convoluzione tra due segnali è pari al prodotto delle trasformate dei segnali:

$$\mathcal {F}$$$$\left\{\vphantom{ x\left( t\right) *y\left( t\right) }\right.$$x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$*y$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ $$\left.\vphantom{ x\left( t\right) *y\left( t\right) }\right\}$$ = X$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$Y$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$

La dimostrazione è riportata alla nota^3.10. Sussiste inoltre anche la proprietà duale, ovvero ad un un prodotto nel tempo corrispponde una convoluzione in frequenza , che si scrive

$$\mathcal {F}$$$$\left\{\vphantom{ x\left( t\right) \cdot y\left( t\right) }\right.$$x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ ^. y$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ $$\left.\vphantom{ x\left( t\right) \cdot y\left( t\right) }\right\}$$ = X$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$*Y$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$

Trattiamo ora delle conseguenze e dei risvolti legati a queste due importanti proprietà, iniziando dalla prima.

Moltiplicazione in Frequenza

L'applicazione più importante è legata al calcolo dell'uscita da un sistema fisico: questo può essere interamente condotto nel dominio della frequenza, calcolando

Y$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ = $$\mathcal {F}$$$$\left\{\vphantom{ x\left( t\right) *h\left( t\right) }\right.$$x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$*h$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ $$\left.\vphantom{ x\left( t\right) *h\left( t\right) }\right\}$$ = X$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$H$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$

e quindi ottenendo y$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = $\mathcal {F}$^-1$\left\{\vphantom{ Y\left( f\right) }\right.$Y$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ $\left.\vphantom{ Y\left( f\right) }\right\}$. La trasformata della risposta impulsiva H$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ = $\mathcal {F}$$\left\{\vphantom{ h\left( t\right) }\right.$h$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ $\left.\vphantom{ h\left( t\right) }\right\}$ prende allora il nome di risposta in frequenza, in quanto rappresenta l'alterazione introdotta dal sistema per ogni frequenza presente in X$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$. Facciamo ora un paio di esempi per sperimentare questo modo di procedere.

Sistema passa tutto

Poniamo di avere H$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ = 1, e che quindi risulti h$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = $\delta$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$. In questo caso le componenti di X$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ alle diverse frequenze non subiscono nessuna alterazione, ottenendo y$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = $\mathcal {F}$^-1$\left\{\vphantom{ Y\left( f\right) }\right.$Y$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ $\left.\vphantom{ Y\left( f\right) }\right\}$ = $\mathcal {F}$^-1$\left\{\vphantom{ X\left( f\right) }\right.$X$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ $\left.\vphantom{ X\left( f\right) }\right\}$ = x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, ed il sistema viene detto di tipo passa tutto. Per verifica, scriviamo l'integrale di convoluzione, che risulta y$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = $\int^{\infty }_{-\infty }$x$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$ $\delta$$\left(\vphantom{ t-\tau }\right.$t - $\tau$ $\left.\vphantom{ t-\tau }\right)$ d$\tau$ = x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$: ritroviamo quindi la proprietà di setacciamento.

Ritardo

Se invece H$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ = e^{-j2$\pi$f$\theta$}, pari cioè ad un esponenziale complesso, il sistema equivale ad una linea di ritardo, riproducendo in uscita l'ingresso presentatosi $\theta$ istanti prima. Infatti risulta: y$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = $\mathcal {F}$^-1$\left\{\vphantom{ Y\left( f\right) }\right.$Y$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ $\left.\vphantom{ Y\left( f\right) }\right\}$ = $\mathcal {F}$^-1$\left\{\vphantom{ X\left( f\right) \hbox {e}^{-j2\pi f\theta }}\right.$X$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$e^{-j2$\pi$f$\theta$}$\left.\vphantom{ X\left( f\right) \hbox {e}^{-j2\pi f\theta }}\right\}$ = x$\left(\vphantom{ t-\theta }\right.$t - $\theta$ $\left.\vphantom{ t-\theta }\right)$. D'altra parte, scrivendo l'integrale di convoluzione, e ricordando che h$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = $\mathcal {F}$^-1$\left\{\vphantom{ \hbox {e}^{-j2\pi f\theta }}\right.$e^{-j2$\pi$f$\theta$}$\left.\vphantom{ \hbox {e}^{-j2\pi f\theta }}\right\}$ = $\delta$$\left(\vphantom{ t-\theta }\right.$t - $\theta$ $\left.\vphantom{ t-\theta }\right)$, avremmo ottenuto y$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = $\int^{\infty }_{-\infty }$x$\left(\vphantom{ \tau }\right.$$\tau$ $\left.\vphantom{ \tau }\right)$ $\delta$$\left(\vphantom{ t-\theta -\tau }\right.$t - $\theta$ - $\tau$ $\left.\vphantom{ t-\theta -\tau }\right)$ d$\tau$ = x$\left(\vphantom{ t-\theta }\right.$t - $\theta$ $\left.\vphantom{ t-\theta }\right)$, ritrovando la proprietà della convoluzione per un impulso traslato.

Moltiplicazione nel Tempo (Modulazione)

La relazione

Z$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ = $$\mathcal {F}$$$$\left\{\vphantom{ x\left( t\right) y\left( t\right) }\right.$$x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$y$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ $$\left.\vphantom{ x\left( t\right) y\left( t\right) }\right\}$$ = X$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$*Y$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$

ci permette di investigare le conseguenze frequenziali del prodotto temporale di due segnali.

A titolo di esempio, analizziamo il caso in cui z$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = Arect_T$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$cos 2$\pi$f₀t, la cui forma d'onda è graficata a sinistra della Fig. 3.3

Figura: Trasformata di un coseno finestrato con T = 2, f₀ = 10

 

. Applicando i risultati noti e la proprietà di traslazione in frequenza, risulta:

Z$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$	=	$${\frac{A}{2}}$$$$\mathcal {F}$$$$\left\{\vphantom{ \hbox {rect}_{T}\left( t\right) \left( \hbox {e}^{j2\pi f_{0}t}+\hbox {e}^{-j2\pi f_{0}t}\right) }\right.$$rectT$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$$$\left(\vphantom{ \hbox {e}^{j2\pi f_{0}t}+\hbox {e}^{-j2\pi f_{0}t}}\right.$$ej2$\pi$f0t + e-j2$\pi$f0t$$\left.\vphantom{ \hbox {e}^{j2\pi f_{0}t}+\hbox {e}^{-j2\pi f_{0}t}}\right)$$ $$\left.\vphantom{ \hbox {rect}_{T}\left( t\right) \left( \hbox {e}^{j2\pi f_{0}t}+\hbox {e}^{-j2\pi f_{0}t}\right) }\right\}$$
	=	$${\frac{AT}{2}}$$$$\left[\vphantom{ \hbox {sinc}\left[ \left( f-f_{0}\right) T\right] +\hbox {sinc}\left[ \left( f+f_{0}\right) T\right] }\right.$$sinc$$\left[\vphantom{ \left( f-f_{0}\right) T}\right.$$$$\left(\vphantom{ f-f_{0}}\right.$$f - f0$$\left.\vphantom{ f-f_{0}}\right)$$T$$\left.\vphantom{ \left( f-f_{0}\right) T}\right]$$ + sinc$$\left[\vphantom{ \left( f+f_{0}\right) T}\right.$$$$\left(\vphantom{ f+f_{0}}\right.$$f + f0$$\left.\vphantom{ f+f_{0}}\right)$$T$$\left.\vphantom{ \left( f+f_{0}\right) T}\right]$$ $$\left.\vphantom{ \hbox {sinc}\left[ \left( f-f_{0}\right) T\right] +\hbox {sinc}\left[ \left( f+f_{0}\right) T\right] }\right]$$

in cui la $\mathcal {F}$$\left\{\vphantom{ rect_{T}\left( t\right) }\right.$rect_T$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ $\left.\vphantom{ rect_{T}\left( t\right) }\right\}$ = Tsinc$\left(\vphantom{ fT}\right.$fT$\left.\vphantom{ fT}\right)$ si è traslata in $\pm$f₀. Verifichiamo che il risultato coincida con quanto previsto: l'espressione di Z$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ infatti è anche pari alla convoluzione tra $\mathcal {F}$$\left\{\vphantom{ rect_{T}\left( t\right) }\right.$rect_T$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ $\left.\vphantom{ rect_{T}\left( t\right) }\right\}$ ed i due impulsi traslati $\mathcal {F}$$\left\{\vphantom{ \cos 2\pi f_{0}t}\right.$cos 2$\pi$f₀t$\left.\vphantom{ \cos 2\pi f_{0}t}\right\}$ = ${\frac{1}{2}}$$\left(\vphantom{ \delta \left( f-f_{0}\right) -\delta \left( f+f_{0}\right) }\right.$$\delta$$\left(\vphantom{ f-f_{0}}\right.$f - f₀$\left.\vphantom{ f-f_{0}}\right)$ - $\delta$$\left(\vphantom{ f+f_{0}}\right.$f + f₀$\left.\vphantom{ f+f_{0}}\right)$ $\left.\vphantom{ \delta \left( f-f_{0}\right) -\delta \left( f+f_{0}\right) }\right)$.

Osserviamo ora che quanto maggiore è l'estensione T della finestra^3.11 di segnale cosinusoidale, tanto più il risultato tende ad essere simile a quello per una cosinusoide ``infinita''. Infatti, qualora si consideri solamente un breve intervallo di un segnale, il suo spettro si modifica a seguito della sua convoluzione con lo spettro della finestra di analisi.

L'esempio proposto ci permette inoltre di motivare il termine Modulazione associato a questa proprietà. L'ampiezza del coseno risulta infatti modulata dal rettangolo. La modulazione di ampiezza (AM) dei radio ricevitori casalinghi si riferisce esattamente a questo processo, svolto allo scopo di condividere tra più emittenti la banda prevista per le trasmissioni, assegnando a ciascuna di esse una diversa frequenza portante f₀ su cui trasmettere.